Lineare Funktionen und Gleichungsystem

Note 1

In der schriftlichen Prüfung kann auch der Taschenrechner benutzt werden, um ein Gleichungsystem zu lösen $\rightarrow\texttt{sys-solv}$

Exercise 1: Grundbegriffe

Erkläre mit Skizzen:

Was ist eine lineare Funktion? Gib ein Beispiel an und zeichne den zugehörigen Graphen.
Was ist die Steigung einer linearen Funktion? Was ist das Steigungsdreieck?

Solution

Beispiele für eine lineare Funktion:
- $f(x)=2x$
- $f(x)=1.23245 x+2$
Allgemein ist die Funktionsgleichung einer linearen Funktion gegeben durch
$f(x)=ax+b$
Das bedeutet: Der Input $x$ wird mit der Zahl $a$ multipliziert und anschliessend die Zahl $b$ addiert.

Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Die Zahl $a$ ist die Steigung der Geraden, und $b$ ist der Ort auf der $y$ -Achse, an dem die Gerade die $y$ -Achse schneidet.

Es gibt zwei Möglichkeiten, den Graphen einer gegebenen linearen Funktion zu zeichnen:
- Es werden zwei Punkte eingezeichnet und mit einer Geraden verbunden.
- Die Steigung $a$ und die Position $b$ werden verwendet (siehe unten).
Die Steigung ist die Zahl, mit der $x$ multipliziert wird, also $a$ . Um die Steigung $a$ einer Geraden zu bestimmen, wird das Steigungsdreieck eingezeichnet. Die Steigung ist dann gegeben durch
$a=\frac{\Delta y}{\Delta x}$
Die Steigung $a$ gibt an, wie weit nach oben (oder bei negativem $a$ nach unten) gegangen werden muss, um wieder auf den Graphen von $f$ zu gelangen, wenn man von einem beliebigen Punkt auf der Geraden um $1$ nach rechts geht.

Exercise 2: Gerade durch zwei Punkte

Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden, welche durch die Punkte $A(1\vert -1)$ und $B(3\vert 8)$ geht.

Solution

Es gilt $f(x)=ax+b$ , wobei für die Steigung $a$ gilt:

a=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{8-(-1)}{3-1}=4.5

Somit ergibt sich $f(x)=4.5x+b$ . Um $b$ zu bestimmen, wird die Bedingung $f(1)=-1$ verwendet:

4.5\cdot 1+b=-1

Daraus folgt $b=-5.5$ . Die Funktionsgleichung lautet also $f(x)=4.5x-5.5$ .

Exercise 3: Graph zeichnen

Zeichne den Graphen der Funktion $f(x)=-2x+4$ .

Solution

Siehe Diskussion.

Exercise 4: Analyse einer linearen Funktion

Gegeben ist die Funktion $f(x)=0.75x-2$ .

Was für eine Funktion ist das?
Wo schneidet der Graph von $f$ die $x$ -Achse und wo die $y$ -Achse?
Wo hat der Graph von $f$ die Höhe $5$ (über der $x$ -Achse)?
Liegt der Punkt $A(2\vert -0.5)$ auf dem Graphen von $f$ ?

Solution

Eine lineare Funktion.
Schnittpunkt mit der $x$ -Achse: Berechnung von $x$ mit
$0.75x-2=0$
Dies ergibt $x=\underline{2.\overline{6}}$ . Schnittpunkt mit der $y$ -Achse: Dieser liegt bei $f(0)=0.75\cdot 0-2=\underline{-2}$ .
Berechnung von $x$ mit $0.75x-2=5$ ergibt $x=\underline{9.\overline{3}}$ .
Dies ist der Fall, falls $f(2)=-0.5$ gilt. Da $f(2)=0.75\cdot 2-2 =-0.5$ ist, lautet die Antwort ja.

Exercise 5: Schnittpunkt berechnen

Gegeben sind zwei lineare Funktionen: $f(x)=0.5x-1$ und $g(x)=-2x+5$ . Bestimme die Koordinaten des Schnittpunkts der beiden Graphen $f$ und $g$ .

Solution

Zur Bestimmung der $x$ -Koordinate des Schnittpunkts wird $x$ wie folgt berechnet:

\begin{array}{rll} f(x)&=&g(x)\\ 0.5x-1 &=&-2x+5\\ 2.5x &=& 6\\ x &=& 2.4 \end{array}

Die $y$ -Koordinate ergibt sich durch:

y=f(2.4)=0.5\cdot 2.4-1 =0.2

(Alternativ: $y=g(2.4)=-2\cdot 2.4+5=0.2$ ). Der Schnittpunkt hat somit die Koordinaten $\underline{(2.4\vert 0.2)}$ .

Exercise 6: Funktionsgleichung f

Eine Gerade geht durch die Punkte $A(2|2)$ und $B(6|4)$ . Bestimme die Funktionsgleichung $f$ der Geraden.

Solution

Es gilt $f(x)=ax+b$ mit:

a=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{4-2}{6-2}=0.5

Somit ist $f(x)=0.5x+b$ . Zur Bestimmung von $b$ wird die Eigenschaft genutzt, dass $A$ auf dem Graphen von $f$ liegt. Es gilt $f(2)=2$ und somit $0.5\cdot 2+b=2$ . Daraus folgt $b=1$ . Die Funktionsgleichung lautet $\underline{f(x)=0.5x+1}$ .

Alternativ hätte auch der Punkt $B$ verwendet werden können: $f(6)=4$ führt zu $0.5\cdot 6+b=4$ und somit ebenfalls zu $b=1$ .

Exercise 7: Schnittpunkt mit der x-Achse

Eine Gerade geht durch die Punkte $A(10|7.5)$ und $B(20|-5)$ . Wo schneidet die Gerade die $x$ -Achse?

Solution

Zuerst wird die Funktionsgleichung der Geraden bestimmt, um anschliessend den Schnittpunkt mit der $x$ -Achse zu berechnen. Es sei $f(x)=ax+b$ mit:

a=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-5-7.5}{20-10}=-1.25

Daraus ergibt sich $f(x)=-1.25x+b$ . Da $A$ auf dem Graphen von $f$ liegt, gilt $f(10)=7.5$ und somit $-1.25\cdot 10+b=7.5$ , woraus $b=20$ folgt. Die Gleichung lautet $f(x)=-1.25x+20$ .

Um den Schnittpunkt mit der $x$ -Achse zu bestimmen, wird der Wert $x$ berechnet, für den $y=0$ gilt:

\begin{array}{rll} f(x)&=&0\\ -1.25x+20&=&0\\ x&=&\frac{-20}{-1.25}\\ &=&\underline{16} \end{array}

Exercise 8: Schnittpunkt zweier Geraden

Gerade $f$ geht durch die Punkte $A(-3|-5)$ und $B(3|3)$ , und Gerade $h$ geht durch die Punkte $C(1|8)$ und $D(6|-2)$ . Berechne den Schnittpunkt der beiden Geraden.

Solution

Zuerst werden die beiden Geradengleichungen bestimmt. Für $f(x)=ax+b$ gilt $a=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$ , also $f(x)=\frac{4}{3}x+b$ . Aus $f(-3)=-5$ folgt $\frac{4}{3}\cdot (-3)+b=-5$ und somit $b=-1$ . Es gilt $f(x)=\frac{4}{3}x-1$ .

Für $h(x)=cx+d$ gilt $c=\frac{-10}{5}=-2$ , also $h(x)=-2x+d$ . Aus $h(1)=8$ folgt $-2\cdot 1+d=8$ und somit $d=10$ . Es gilt $h(x)=-2x+10$ .

Für die $x$ -Koordinate des Schnittpunkts muss gelten:

\begin{array}{rll} \frac{4}{3}x-1&=&-2x+10 \quad\vert +1, +2x\\ \frac{4}{3}x+2x&=&11\\ \frac{4x}{3}+\frac{6x}{3}&&=&11\\ \frac{10x}{3}&=&11\quad\vert \cdot 3\\ 10x&=&33\quad\vert :10\\ x&=&3.3 \end{array}

Die $y$ -Koordinate ist $y=f(3.3)=\frac{4}{3}\cdot 3.3-1=3.4$ . Der Schnittpunkt hat somit die Koordinaten $\underline{S(3.3\vert 3.4)}$ .

Zur Bestimmung der $y$ -Koordinate hätte auch $h$ verwendet werden können: $y=h(3.3)=-2\cdot 3.3+10=3.4$ .

Exercise 9: Lösen von linearen Gleichungssystemen

Löse das lineare Gleichungssystem:

Finde $x$ und $y$ :
$\left|\begin{array}{lll} 3x-2y&=&9\\ x+4y&=&8\\ \end{array}\right|$
Finde $x$ und $y$ :
$\left|\begin{array}{lll} 2x+y&=&4\\ x+2y&=&2\\ \end{array}\right|$
Finde $x$ und $y$ :
$\left|\begin{array}{lll} x-3y&=&y+1\\ x-(2y-x)&=&5\\ \end{array}\right|$

Solution

Lösung durch Einsetzungsverfahren oder Addition: $x = \frac{26}{7} \approx 3.71$ $y = \frac{15}{14} \approx 1.07$
Lösung durch Subtraktion oder Einsetzen: $x = 2$ $y = 0$
Zuerst werden die Gleichungen in die richtige Form gebracht: I: $x - 4y = 1$ II: $2x - 2y = 5$ Daraus ergibt sich dann: $x = 3$ $y = 0.5$

Exercise 10: Anzahl der Lösungen grafisch interpretieren

Wie viele Lösungen kann ein lineares Gleichungssystem besitzen? Begründe die Antwort und stelle sie grafisch dar.

Solution

Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen kann drei Fälle aufweisen:

Genau eine Lösung: Die beiden Geraden schneiden sich in einem Punkt.
Keine Lösung: Die Geraden verlaufen parallel zueinander (gleiche Steigung, unterschiedlicher $y$ -Achsenabschnitt).
Unendlich viele Lösungen: Die Geraden sind identisch.

Grafisch gesehen entspricht jede Gleichung einer Geraden im Koordinatensystem. Die Lösung des Systems ist der Schnittpunkt dieser Geraden.