Potenzen und Wurzeln

Exercise 1: Potenzgesetze

Schreibe alle Potenzgesetze auf.

Solution

Für jede Zahl a,b,na, b, n und mm gilt:

DEF:an=a⋅...⋅a⏟n timesa0=1a−n=1anam/n=amnGB:an⋅am=an+m und anam=an−mGE:an⋅bn=(ab)n und anbn=(ab)nPP:(an)m=anm\begin{array}{r|rll} \text{DEF:} & a^n &=&\underbrace{a\cdot ...\cdot a}_{n \text{ times}}\\ & a^0&=&1\\ & a^{-n} &=& \frac{1}{a^n}\\ & a^{m/n} &=& \sqrt[n]{a^m}\\[0.2em]\hline \text{GB:} & a^n\cdot a^m &=& a^{n+m} \quad\text{ und }\quad \frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}\\[0.2em]\hline \text{GE:} & a^n\cdot b^n &=& (ab)^n \quad\text{ und }\quad \frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n\\[0.2em]\hline \text{PP:} & (a^n)^m &=& a^{nm}\\[0.2em]\hline \end{array}

wobei DEF='Definition', GB='gleiche Basis', GE='gleicher Exponent', und PP='Potenz einer Potenz' steht.

Exercise 2: Potenzen
  1. Schreibe so kurz und einfach wie möglich:
    1. a⋅a⋅a2a\cdot a\cdot a^2
    2. a⋅b⋅a⋅a⋅ba\cdot b\cdot a\cdot a\cdot b
    3. a+a+a+a+b+ba+a+a+a+b+b
    4. 2x⋅2x⋅2x⋅2x2x\cdot 2x\cdot 2x\cdot 2x
    5. 2x+2x+2x+2x2x+2x+2x+2x
    6. (a+2)(a+2)(a+2)(a+2)(a+2)(a+2)
    7. (a+2)+(a+2)+(a+2)(a+2)+(a+2)+(a+2)
    8. (−a)(−a)(−a)(−a)(−a)(-a)(-a)(-a)(-a)(-a)
    9. (−a)+(−a)+(−a)+(−a)(-a)+(-a)+(-a)+(-a)
    10. ab⋅ab⋅ab⋅ab⋅ab\frac{a}{b}\cdot \frac{a}{b}\cdot \frac{a}{b}\cdot \frac{a}{b}\cdot \frac{a}{b}
    11. a2⋅a4a^2\cdot a^4
    12. a4a2\frac{a^4}{a^2}
    13. a2a4\frac{a^2}{a^4}
    14. (a3)4(a^3)^4
    15. (2ab3)4(2ab^3)^4
  2. Welche Gleichungen gelten, und wieso?

    1. a2a3=a2+3a^2 a^3 = a^{2+3}

    2. a3b3=ab3a^3 b^3 = ab^3

    3. a3b3=(ab)3a^3 b^3 = (ab)^3

    4. (a2)3=a2+3\left(a^2\right)^3 = a^{2+3}

    5. (a2)3=a2⋅3\left(a^2\right)^3 = a^{2\cdot 3}

    6. a5a2=a5−2\frac{a^5}{a^2}=a^{5-2}

    7. (a−b)2(a−b)3=(a−b)2+3(a-b)^2 (a-b)^3 = (a-b)^{2+3}

    8. (a+b)2=a2+b2(a+b)^2=a^2+b^2

    9. (ab)2=a2b2(ab)^2=a^2 b^2

    10. 2a2x3c54ax2c6=ax2c\frac{2a^2 x^3 c^5}{4a x^2 c^6}=\frac{a x}{2c}

Solution
    1. a⋅a⋅a2=a4a\cdot a\cdot a^2=a^4
    2. a⋅b⋅a⋅a⋅b=a3b2a\cdot b\cdot a\cdot a\cdot b=a^3 b^2
    3. a+a+a+a+b+b=4a+2ba+a+a+a+b+b=4a+2b
    4. 2x⋅2x⋅2x⋅2x=16x42x\cdot 2x\cdot 2x\cdot 2x=16x^4
    5. 2x+2x+2x+2x=8x2x+2x+2x+2x=8x
    6. (a+2)(a+2)(a+2)=(a+2)3(a+2)(a+2)(a+2)=(a+2)^3
    7. (a+2)+(a+2)+(a+2)=3(a+2)=3a+6(a+2)+(a+2)+(a+2)=3(a+2)=3a+6
    8. (−a)(−a)(−a)(−a)(−a)=(−a)5=−a5(-a)(-a)(-a)(-a)(-a)=(-a)^5=-a^5
    9. (−a)+(−a)+(−a)+(−a)=−4a(-a)+(-a)+(-a)+(-a)=-4a
    10. ab⋅ab⋅ab⋅ab⋅ab=a5b5\frac{a}{b}\cdot \frac{a}{b}\cdot \frac{a}{b}\cdot \frac{a}{b}\cdot \frac{a}{b}=\frac{a^5}{b^5}
    11. a2⋅a4=a6a^2\cdot a^4=a^6
    12. a4a2=a2\frac{a^4}{a^2}=a^2
    13. a2a4=1a2\frac{a^2}{a^4}=\frac{1}{a^2}
    14. (a3)4=a12(a^3)^4=a^{12}
    15. (2ab3)4=24a4b12=16a4b12(2ab^3)^4=2^4 a^4 b^{12}=16 a^4 b^{12}
    1. a2a3=a2+3a^2 a^3 = a^{2+3} richtig, da a2a3=aaaaa=a2+3a^2 a^3=a a a a a =a^{2+3}
    2. a3b3=ab3a^3 b^3 = ab^3 falsch, da a3b3=aaabbb≠abbb=ab3a^3 b^3 = a a a b b b \neq a b b b = a b^3
    3. a3b3=(ab)3a^3 b^3 = (ab)^3 richtig, da a3b3=aaabbb=ababab=(ab)3a^3 b^3 = a a a b b b = a b a b a b = (ab)^3
    4. (a2)3=a2+3\left(a^2\right)^3 = a^{2+3} falsch, da (a2)3=a2a2a2=aaaaaa≠a5\left(a^2\right)^3 = a^2 a^2 a^2 = a a a a a a \neq a^5
    5. (a2)3=a2⋅3\left(a^2\right)^3 = a^{2\cdot 3} richtig, da (a2)3=a2a2a2=aaaaaa\left(a^2\right)^3 = a^2 a^2 a^2 = a a a a a a
    6. a5a2=a5−2\frac{a^5}{a^2}=a^{5-2} richtig, da a5a2=aaaaaaaa=aaa=a3\frac{a^5}{a^2}=\frac{a a a a a}{a a a} = a a a = a^{3}
    7. (a−b)2(a−b)3=(a−b)2+3(a-b)^2 (a-b)^3 = (a-b)^{2+3}, richtig, da (a−b)2(a−b)3=(a−b)(a−b)(a−b)(a−b)(a−b)=(a−b)5(a-b)^2 (a-b)^3=(a-b)(a-b)(a-b)(a-b)(a-b)=(a-b)^5
    8. (a+b)2=a2+b2(a+b)^2=a^2+b^2 falsch, da (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 +2ab + b^2
    9. (ab)2=a2b2(ab)^2=a^2 b^2 richtig da (ab)2=abab=aabb=a2b2(ab)^2= ab ab = a a b b = a^2 b^2
    10. 2a2x3c54ax2c6=ax2c\frac{2a^2 x^3 c^5}{4a x^2 c^6}=\frac{a x}{2c} richtig, da 2a2x3c54ax2c6=2aaxxxccccc4axxcccccc=ax2c\frac{2a^2 x^3 c^5}{4a x^2 c^6}=\frac{2 a a x x x c c c c c}{4 a x x c c c c c c}=\frac{a x}{2c}
Exercise 3

Löse die Gleichungen

  1. 5x25−2=05\sqrt[5]{x^2}-2=0

  2. 2x3−9=1\frac{2}{x^3}-9=1

  3. (2x2−1)5/6=3(2x^2-1)^{5/6}=3

  4. 5⋅2x−10=25\cdot 2^x -10=2

  5. 3log⁡2(x+1)=43\log_2(x+1)=4

Solution
  1. 5x25−2=0∣+2,:3x25=0.4∣()5x2=0.45∣xx=0.1011\begin{array}{llll} 5\sqrt[5]{x^2}-2&=&0 & \mid +2, :3\\[0.5em] \sqrt[5]{x^2}&=&0.4 & \mid ()^5\\[0.5em] x^2&=& 0.4^5 & \mid \sqrt{\phantom{x}}\\[0.5em] x&=&0.1011& \end{array}
  2. 2x3−9=1∣+9,⋅x32=10x3∣:10,x30.23=xx=0.5848\begin{array}{llll} \frac{2}{x^3}-9&=&1 &\mid +9, \cdot x^3\\[0.5em] 2&=&10x^3 & \mid :10, \sqrt[3]{\phantom{x}}\\[0.5em] \sqrt[3]{0.2}&=& x & \\[0.5em] x&=&0.5848 & \end{array}
  3. (2x2−1)5/6=3∣(.)6(2x2−1)5=36=729∣x52x2−1=7295∣+1,:2,xx=1.539\begin{array}{llll} (2x^2-1)^{5/6}&=&3 &\mid (.)^6\\[0.5em] (2x^2-1)^{5}&=&3^6=729 & \mid \sqrt[5]{\phantom{x}}\\[0.5em] 2x^2-1&=& \sqrt[5]{729} & \mid +1, :2, \sqrt{\phantom{x}}\\[0.5em] x&=&1.539 & \end{array}
  4. 5⋅2x−10=2∣+10,:52x=2.4∣log⁡2(.)x=log⁡2(2.4)=1.263\begin{array}{llll} 5\cdot 2^x-10&=&2 &\mid +10, :5\\[0.5em] 2^x&=&2.4 & \mid \log_2(.)\\[0.5em] x&=& \log_2(2.4)= 1.263& \end{array}
  5. 3log⁡2(x+1)=4∣:3log⁡2(x+1)=43∣spiralx+1=24/3∣−1x=24/3−1=1.5198\begin{array}{llll} 3\log_2(x+1)&=&4 &\mid :3\\[0.5em] \log_2(x+1)&=&\frac{4}{3} & \mid \text{spiral}\\[0.5em] x+1&=& 2^{4/3} & \mid -1\\ x&=&2^{4/3}-1=1.5198 \end{array}