Rechnen mit Termen

Exercise 1

Aufgabe: Additition, Subtraktion und Multiplikation

Vereinfache die folgenden Terme: 0. a+a+a+b+ba+a+a+b+b

  1. 2a+3a2a+3a
  2. 4a−6a4a-6a
  3. 4a−2a+6b+2a−5b4a-2a+6b+2a-5b
  4. 1a1a
  5. −1a-1a
  6. 2⋅2a2\cdot 2a
  7. −2⋅2a-2\cdot 2a
  8. −1⋅a-1\cdot a
  9. 6a−6a6a-6a
  10. 3a⋅4b3a\cdot 4b
  11. −b⋅b-b\cdot b
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Lösung

  1. a+a+a+b+b=3a+2ba+a+a+b+b=3a+2b
  2. 2a+3a=5a2a+3a=5a
  3. 4a−6a=−2a4a-6a=-2a
  4. 4a−2a+6b+2a−5b=4a+b4a-2a+6b+2a-5b=4a+b
  5. 1a=a1a=a
  6. −1a=−a-1a=-a
  7. 2⋅2a=2⋅2⋅a=4⋅a=4a2\cdot 2a=2\cdot 2\cdot a=4\cdot a=4a
  8. −2⋅2a=−2⋅2⋅a=−4⋅a=−4a-2\cdot 2a=-2\cdot 2\cdot a=-4\cdot a=-4a
  9. −1⋅a=−a-1\cdot a=-a
  10. 6a−6a=06a-6a=0
  11. 3a⋅4b=3⋅4⋅a⋅b=12ab3a\cdot 4b=3\cdot 4\cdot a\cdot b=12ab
  12. −b⋅b=−1⋅b⋅b=−1⋅b2=−b2-b\cdot b=-1\cdot b\cdot b=-1\cdot b^2=-b^2
Exercise 2

Aufgabe: Klammerregeln

Vereinfache:

  1. (−b−a)−(a−b)(-b-a)-(a-b)
  2. (a−b)−(−b−a)(a-b)-(-b-a)
  3. 8−[6p−(3p+8)]8-[6p-(3p+8)]
  4. −8+[−6p+(3p+8)]-8+[-6p+(3p+8)]
  5. −(2a−b)−[−2(b−2a)]-(2a-b)-[-2(b-2a)]
  6. −(b−a)−(a−b)-(b-a)-(a-b)
  7. −(b−a)+(a−b)-(b-a)+(a-b)
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Lösung

  1. (−b−a)−(a−b)=−b−a−a+b=−2a(-b-a)-(a-b)=-b-a-a+b=-2a
  2. (a−b)−(−b−a)=a−b−−b+a=a−b+b+a=2a(a-b)-(-b-a)=a-b--b+a=a-b+b+a=2a
  3. 8−[6p−(3p+8)]=8−[6p−3p−8]=8−[3p−8]=8−3p+8=16−3p8-[6p-(3p+8)]=8-[6p-3p-8]=8-[3p-8]=8-3p+8= 16-3p
  4. −8+[−6p+(3p+8)]=−8+[−6p+3p+8]=−8+[−3p+8]=−8−3p+8=−3p-8+[-6p+(3p+8)]=-8+[-6p+3p+8]=-8+[-3p+8]=-8-3p+8=-3p
  5. −(2a−b)−[−2(b−2a)]=−2a+b−[−2b+4a]=−2a+b−−2b−4a=−2a+b+2b−4a=−6a+3b-(2a-b)-[-2(b-2a)]=-2a+b-[-2b+4a]=-2a+b--2b-4a=-2a+b+2b-4a=-6a+3b
  6. −(b−a)−(a−b)=−b+a−a+b=0-(b-a)-(a-b)=-b+a-a+b=0
  7. −(b−a)+(a−b)=−b+a+a−b=2a−2b-(b-a)+(a-b)=-b+a+a-b=2a-2b
Exercise 3

Aufgabe: Ausmultiplizieren

Multipliziere aus, und vereinfache das Resultat soweit wie möglich:

  1. 3(2x+1)3 (2x+1)
  2. 3x(2x+1)3x (2x+1)
  3. (a−b)⋅4(a-b)\cdot 4
  4. −2(2x+1)-2(2x+1)
  5. (x−1)(3x+2)(x-1)(3x+2)
  6. (2a−b)(3a+2b)(2a-b)(3a+2b)
  7. (a+b)(a−b+2c)(a+b)(a-b+2c)
  8. (x2−2y)(x+y3)(x^2-2y)(x+y^3)
  9. (x2+1)(x2−1)(x^2+1)(x^2-1)
  10. (2a+b)(2a−b)(2a+b)(2a-b)
  11. (x−12)(12+x)(x-\frac{1}{2})(\frac{1}{2}+x)
  12. 2n(7p−6q+1)2n(7p-6q+1)
  13. 2c(c−5)22c(c-5)^2
  14. (a−b)(a−1)(b−1)(a-b)(a-1)(b-1)
  15. (−x−y)(x+y)(-x-y)(x+y)
  16. (−x−y)(x−y)(-x-y)(x-y)
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Lösung

  1. 3(2x+1)=6x+33 (2x+1)=6x+3
  2. 3x(2x+1)=6x2+3x3x (2x+1)=6x^2+3x
  3. (a−b)⋅4=4(a−b)=4a−4b(a-b)\cdot 4=4(a-b)=4a-4b
  4. −2(2x+1)=−(4x+2)=−4x−2-2(2x+1)=-(4x+2)=-4x-2
  5. (x−1)(3x+2)=3x2+2x−3x−2=3x2−x−2(x-1)(3x+2)=3x^2+2x-3x-2=3x^2-x-2
  6. (2a−b)(3a+2b)=6a2+4ab−3ab−2b2=6a2+ab−2b2(2a-b)(3a+2b)=6a^2+4ab-3ab-2b^2=6a^2+ab-2b^2
  7. (a+b)(a−b+2c)=a2−ab+2ac+ba−b2+2bc=a2+2ac+2bc−b2(a+b)(a-b+2c)=a^2-ab+2ac+ba-b^2+2bc=a^2+2ac+2bc-b^2
  8. (x2−2y)(x+y3)=x3+x2y3−2xy−2y4(x^2-2y)(x+y^3)=x^3+x^2 y^3-2xy-2y^4
  9. (x2+1)(x2−1)=x4−x2+x2−1=x4−1(x^2+1)(x^2-1)=x^4-x^2+x^2-1=x^4-1
  10. (2a+b)(2a−b)=4a2−2ab+2ab−b2=4a2−b2(2a+b)(2a-b)=4a^2-2ab+2ab-b^2=4a^2-b^2
  11. (x−12)(12+x)=x2−12x+12x−14=x2−14(x-\frac{1}{2})(\frac{1}{2}+x)=x^2-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}=x^2-\frac{1}{4}
  12. 2n(7p−6q+1)=14np−12nq+2n2n(7p-6q+1)=14np-12nq+2n
  13. 2c(c−5)2=2c(c−5)(c−5)=2c(c2−10c+25)=2c3−20c2−50c2c(c-5)^2=2c(c-5)(c-5)=2c(c^2-10c+25)=2c^3-20c^2-50c
  14. (a−b)(a−1)(b−1)=(a−b)(ab−b2−a+b)=a2b−ab2−a2+ab−ab2+b3−ab−b2=a2b−2ab2−a2+b3−b2(a-b)(a-1)(b-1)=(a-b)(ab-b^2-a+b)=\\a^2b-ab^2-a^2+ab-ab^2+b^3-ab-b^2\\=a^2b-2ab^2-a^2+b^3-b^2
  15. (−x−y)(x+y)=−x2−xy−xy−y2=−x2−2xy−y2(-x-y)(x+y)=-x^2-xy-xy-y^2=-x^2-2xy-y^2
  16. (−x−y)(x−y)=−x2+xy−xy+y2=−x2+y2(-x-y)(x-y)=-x^2+xy-xy+y^2=-x^2+y^2
Exercise 4

Aufgabe: Ausklammern

  1. Klammere aa aus:

    1. 3a−4ab3a-4ab
    2. 2a2+ab2a^2+ab
    3. a+1a+1
    4. ab−a+a3ab-a+a^3

  2. Klammere 44 aus:

    1. 4x−164x-16
    2. 16x−416x-4
    3. 24x−124x-1

  3. Klammere −1-1 aus:

    1. x+yx+y
    2. 2x−22x-2
    3. −ab2+2-ab^2+2
    4. −1−b-1-b

  4. Klammere 2u2u aus:

    1. 6u−4u26u-4u^2
    2. 12u3−2u12u^3-2u

  5. Klammere 13x\frac{1}{3}x aus

    1. 2x−yx2x-yx
    2. x3+13x+12x2x^3+\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}x^2
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Lösung

  1. Klammere aa aus:

    1. 3a−4ab=a⋅3−a⋅4b=a(3−4b)3a-4ab=a\cdot 3-a\cdot 4b= a(3-4b)
    2. 2a2+ab=a⋅2a+a⋅b=a(2a+b)2a^2+ab=a\cdot 2a+a\cdot b=a(2a+b)
    3. a+1=a⋅1+a1a=a(1+1a)a+1=a\cdot 1+a\frac{1}{a}=a(1+\frac{1}{a})
    4. ab−a+a3=a⋅b−a⋅1+a⋅a2=a(b−1+a2)ab-a+a^3=a\cdot b-a\cdot 1+a\cdot a^2=a(b-1+a^2)

  2. Klammere 44 aus:

    1. 4x−16=4⋅x−4⋅4=4(x−4)4x-16=4\cdot x-4\cdot 4=4(x-4)
    2. 16x−4=4⋅4x−4⋅1=4(4x−1)16x-4=4\cdot 4x-4\cdot 1=4(4x-1)
    3. 24x−1=4⋅6x−4⋅14=4(6x−14)24x-1=4\cdot 6x-4\cdot\frac{1}{4}=4(6x-\frac{1}{4})

  3. Klammere −1-1 aus: Wiederum Operation wechseln, von ++ zu −- und umgekehrt. Dann überprüfen ob es stimmt, indem die Klammer wieder weggelassen wird.

    1. x+y=−(−x−y)x+y=-(-x-y)
    2. 2x−2=−(−2x+2)2x-2=-(-2x+2)
    3. −ab2+2=−(ab2−2)-ab^2+2=-(ab^2-2)
    4. −1−b=−(1+b)-1-b=-(1+b)

  4. Klammere 2u2u aus:

    1. 6u−4u2=2u⋅3−2u⋅2u=2u(3−2u)6u-4u^2=2u\cdot 3-2u\cdot 2u=2u(3-2u)
    2. 12u3−2u=2u⋅6u2−2u⋅1=2u(6u2−1)12u^3-2u=2u\cdot 6u^2-2u\cdot 1=2u(6u^2-1)

  5. Klammere 13x\frac{1}{3}x aus

    1. 2x−xy=13⋅6x−13x⋅3y2x-xy=\frac{1}{3}\cdot 6x-\frac{1}{3}x\cdot 3y
    2. x3+13x+12x2=13x⋅3x2+13x⋅1+13x⋅32x=13x(3x2+1+32x)x^3+\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}x^2=\frac{1}{3}x\cdot 3x^2+\frac{1}{3}x\cdot 1+\frac{1}{3}x\cdot \frac{3}{2}x=\frac{1}{3}x(3x^2+1+\frac{3}{2}x)