Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Betrachten wir ein Zufallsexperiment und ein Ereignis $E\subset S$ . Ähnlich wie die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses können wir die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses als die langfristige relative Häufigkeit seines Auftretens definieren:

Definition 1

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses $E$ , geschrieben $p(E)$ , ist definiert als

Equation 1

p(E)=\frac{n}{N}\quad (N \text{ large})

Definition der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

wobei $N$ die Anzahl der Wiederholungen des Experiments unter denselben Bedingungen ist, und $n$ die Anzahl der Experimente, in denen Ereignis $E$ aufgetreten ist. Oder anders ausgedrückt: $p(E)$ ist die prozentuale Häufigkeit des Auftretens von $E$ für viele Repetitionen des Experiments.

Es liegt auf der Hand, dass ein enger Zusammenhang zwischen Ergebniswahrscheinlichkeiten und Ereigniswahrscheinlichkeiten bestehen muss.

Theorem 1

Es sei $S=\{o_1,o_2,...,o_r,...,o_m\}$ der Ereinisraum eines Zufallsexperiments, und $E=\{o_1,...,o_r\}\subset S$ ein Ereignis. Es gilt: Die Wahrscheinlichkeit von $E$ ist die Summe seiner Ergebniswahrscheinlichkeiten:

Equation 2

p(\{o_1,...,o_r\})=\sum_{i=1}^r p(o_i)=p(o_1)+...+p(o_r)

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses als Summe seiner Ergebniswahrscheinlichkeiten.

Exercise 1

Beweise die Aussage von oben.

Solution

Wir wiederholen das Experiment $N$ mal, wobei $N$ eine grosse Zahl ist. $p(o_i)$ ist also der Prozentsatz, mit dem das Ergebnis $o_i$ eintritt. Das Ereignis $E$ tritt jedes Mal ein, wenn einer der Ausgänge $o_1, ..., o_r$ eintritt, und dieser Prozentsatz ist $p(o_1)+...+p(o_r)$ . Somit ist $p(E)=p(o_1)+...+p(o_r)$ .

Exercise 2

Ein Würfel hat unterschiedlich gewichtete Flächen, so dass einige Zahlen häufiger vorkommen als andere:

\begin{array}{lll} p(1)&=&0.25\\ p(2)&=&0.27\\ p(3)&=&0.12\\ p(4)&=&0.12\\ p(5)&=&0.12\\ p(6)&=&0.12\\ \end{array}

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "eine gerade Zahl ist eingetreten".

Solution

$E=\{2,4,6\}$ , also muss gelten $p(E)=p(2)+p(4)+p(6)=0.27+0.12+0.12=\underline{0.51}$