Termenumformungen

Exercise 1: Vereinfachen von Termen und Bruchtermen

Vereinfache die folgenden Terme durch Zusammenfassen:

  1. a+a+a+b+ba+a+a+b+b

  2. 2a+3a2a+3a

  3. 4a−6a4a-6a

  4. 4a−2a+6b+2a−5b4a-2a+6b+2a-5b

  5. 1a1a

  6. −1a-1a

  7. 2⋅2a2\cdot 2a

  8. −2⋅2a-2\cdot 2a

  9. −1⋅a-1\cdot a

  10. 6a−6a6a-6a

  11. 3a⋅4b3a\cdot 4b

  12. −b⋅b-b\cdot b

  13. 2a3+a3\frac{2a}{3} + \frac{a}{3}

  14. xy⋅y\frac{x}{y} \cdot y

  15. 12ab3b\frac{12ab}{3b}

  16. x2+xx\frac{x^2+x}{x}

  17. 1a+2b\frac{1}{a} + \frac{2}{b}

  18. x2−x4\frac{x}{2} - \frac{x}{4}

  19. 32a−1a\frac{3}{2a} - \frac{1}{a}

  20. ab⋅ca\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{a}

Solution
  1. a+a+a+b+b=3a+2ba+a+a+b+b=3a+2b
  2. 2a+3a=5a2a+3a=5a
  3. 4a−6a=−2a4a-6a=-2a
  4. 4a−2a+6b+2a−5b=4a+b4a-2a+6b+2a-5b=4a+b
  5. 1a=a1a=a
  6. −1a=−a-1a=-a
  7. 2⋅2a=4a2\cdot 2a=4a
  8. −2⋅2a=−4a-2\cdot 2a=-4a
  9. −1⋅a=−a-1\cdot a=-a
  10. 6a−6a=06a-6a=0
  11. 3a⋅4b=12ab3a\cdot 4b=12ab
  12. −b⋅b=−b2-b\cdot b=-b^2
  13. 2a3+a3=3a3=a\frac{2a}{3} + \frac{a}{3} = \frac{3a}{3} = a
  14. xy⋅y=x\frac{x}{y} \cdot y = x
  15. 12ab3b=4a\frac{12ab}{3b} = 4a
  16. x2+xx=x(x+1)x=x+1\frac{x^2+x}{x} = \frac{x(x+1)}{x} = x+1
  17. 1a+2b=1⋅ba⋅b+2⋅ab⋅a=b+2aab\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = \frac{1\cdot b}{a\cdot b} + \frac{2\cdot a}{b\cdot a} = \frac{b+2a}{ab}
  18. x2−x4=2x4−x4=x4\frac{x}{2} - \frac{x}{4} = \frac{2x}{4} - \frac{x}{4} = \frac{x}{4}
  19. 32a−1a=32a−22a=12a\frac{3}{2a} - \frac{1}{a} = \frac{3}{2a} - \frac{2}{2a} = \frac{1}{2a}
  20. ab⋅ca=cb\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{a} = \frac{c}{b}
Exercise 2: Klammerregeln

Vereinfache durch weglassen der Klammern, falls möglich.

  1. (−b−a)−(a−b)(-b-a)-(a-b)

  2. (a−b)−(−b−a)(a-b)-(-b-a)

  3. 8−[6p−(3p+8)]8-[6p-(3p+8)]

  4. −8+[−6p+(3p+8)]-8+[-6p+(3p+8)]

  5. −(2a−b)−[−2(b−2a)]-(2a-b)-[-2(b-2a)]

  6. −(b−a)−(a−b)-(b-a)-(a-b)

  7. −(b−a)+(a−b)-(b-a)+(a-b)

Solution
  1. (−b−a)−(a−b)=−b−a−a+b=−2a(-b-a)-(a-b)=-b-a-a+b=-2a
  2. (a−b)−(−b−a)=a−b−−b+a=a−b+b+a=2a(a-b)-(-b-a)=a-b--b+a=a-b+b+a=2a
  3. 8−[6p−(3p+8)]=8−[6p−3p−8]=8−[3p−8]=8−3p+8=16−3p8-[6p-(3p+8)]=8-[6p-3p-8]=8-[3p-8]=8-3p+8= 16-3p
  4. −8+[−6p+(3p+8)]=−8+[−6p+3p+8]=−8+[−3p+8]=−8−3p+8=−3p-8+[-6p+(3p+8)]=-8+[-6p+3p+8]=-8+[-3p+8]=-8-3p+8=-3p
  5. −(2a−b)−[−2(b−2a)]=−2a+b−[−2b+4a]=−2a+b−−2b−4a=−2a+b+2b−4a=−6a+3b-(2a-b)-[-2(b-2a)]=-2a+b-[-2b+4a]=-2a+b--2b-4a=-2a+b+2b-4a=-6a+3b
  6. −(b−a)−(a−b)=−b+a−a+b=0-(b-a)-(a-b)=-b+a-a+b=0
  7. −(b−a)+(a−b)=−b+a+a−b=2a−2b-(b-a)+(a-b)=-b+a+a-b=2a-2b
Exercise 3: Ausmultiplizieren und Vereinfachen

Vereinfache durch Ausmultiplizieren:

  1. 3(2x+1)3 (2x+1)

  2. 3x(2x+1)3x (2x+1)

  3. (a−b)⋅4(a-b)\cdot 4

  4. −2(2x+1)-2(2x+1)

  5. (x−1)(3x+2)(x-1)(3x+2)

  6. (2a−b)(3a+2b)(2a-b)(3a+2b)

  7. (a+b)(a−b+2c)(a+b)(a-b+2c)

  8. (x2−2y)(x+y3)(x^2-2y)(x+y^3)

  9. (x2+1)(x2−1)(x^2+1)(x^2-1)

  10. (2a+b)(2a−b)(2a+b)(2a-b)

  11. (x−12)(12+x)(x-\frac{1}{2})(\frac{1}{2}+x)

  12. 2n(7p−6q+1)2n(7p-6q+1)

  13. 2c(c−5)22c(c-5)^2

  14. (a−b)(a−1)(b−1)(a-b)(a-1)(b-1)

  15. (−x−y)(x+y)(-x-y)(x+y)

  16. (−x−y)(x−y)(-x-y)(x-y)

  17. 12(4x−8)\frac{1}{2}(4x-8)

  18. 23(9a−6b)\frac{2}{3}(9a-6b)

  19. (x+12)(x−12)(x+\frac{1}{2})(x-\frac{1}{2})

  20. 1x(x2+3x)\frac{1}{x}(x^2+3x)

  21. (a+2a)(a−2a)(a+\frac{2}{a})(a-\frac{2}{a})

Solution
  1. 3(2x+1)=6x+33 (2x+1)=6x+3
  2. 3x(2x+1)=6x2+3x3x (2x+1)=6x^2+3x
  3. (a−b)⋅4=4(a−b)=4a−4b(a-b)\cdot 4=4(a-b)=4a-4b
  4. −2(2x+1)=−(4x+2)=−4x−2-2(2x+1)=-(4x+2)=-4x-2
  5. (x−1)(3x+2)=3x2+2x−3x−2=3x2−x−2(x-1)(3x+2)=3x^2+2x-3x-2=3x^2-x-2
  6. (2a−b)(3a+2b)=6a2+4ab−3ab−2b2=6a2+ab−2b2(2a-b)(3a+2b)=6a^2+4ab-3ab-2b^2=6a^2+ab-2b^2
  7. (a+b)(a−b+2c)=a2−ab+2ac+ba−b2+2bc=a2+2ac+2bc−b2(a+b)(a-b+2c)=a^2-ab+2ac+ba-b^2+2bc=a^2+2ac+2bc-b^2
  8. (x2−2y)(x+y3)=x3+x2y3−2xy−2y4(x^2-2y)(x+y^3)=x^3+x^2 y^3-2xy-2y^4
  9. (x2+1)(x2−1)=x4−x2+x2−1=x4−1(x^2+1)(x^2-1)=x^4-x^2+x^2-1=x^4-1
  10. (2a+b)(2a−b)=4a2−2ab+2ab−b2=4a2−b2(2a+b)(2a-b)=4a^2-2ab+2ab-b^2=4a^2-b^2
  11. (x−12)(12+x)=x2−12x+12x−14=x2−14(x-\frac{1}{2})(\frac{1}{2}+x)=x^2-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}=x^2-\frac{1}{4}
  12. 2n(7p−6q+1)=14np−12nq+2n2n(7p-6q+1)=14np-12nq+2n
  13. 2c(c−5)2=2c(c−5)(c−5)=2c(c2−10c+25)=2c3−20c2−50c2c(c-5)^2=2c(c-5)(c-5)=2c(c^2-10c+25)=2c^3-20c^2-50c
  14. (a−b)(a−1)(b−1)=(a−b)(ab−b−a+1)=a2b−ab−a2+a−ab2+b2+ab−b=a2b−ab2−a2+b2+a−b(a-b)(a-1)(b-1)=(a-b)(ab-b-a+1)=a^2b-ab-a^2+a-ab^2+b^2+ab-b=a^2b-ab^2-a^2+b^2+a-b
  15. (−x−y)(x+y)=−x2−xy−xy−y2=−x2−2xy−y2(-x-y)(x+y)=-x^2-xy-xy-y^2=-x^2-2xy-y^2
  16. (−x−y)(x−y)=−x2+xy−xy+y2=−x2+y2(-x-y)(x-y)=-x^2+xy-xy+y^2=-x^2+y^2
  17. 12(4x−8)=2x−4\frac{1}{2}(4x-8) = 2x-4
  18. 23(9a−6b)=6a−4b\frac{2}{3}(9a-6b) = 6a-4b
  19. (x+12)(x−12)=x2−14(x+\frac{1}{2})(x-\frac{1}{2}) = x^2-\frac{1}{4}
  20. 1x(x2+3x)=x2x+3xx=x+3\frac{1}{x}(x^2+3x) = \frac{x^2}{x} + \frac{3x}{x} = x+3
  21. (a+2a)(a−2a)=a2−4a2(a+\frac{2}{a})(a-\frac{2}{a}) = a^2 - \frac{4}{a^2}
Exercise 4: Ausklammern (Faktorisieren)

Klammere aus, wo möglich.

  1. 3a−4ab3a-4ab

  2. 2a2+ab2a^2+ab

  3. a+1a+1

  4. ab−a+a3ab-a+a^3

  5. 4x−164x-16

  6. 16x−416x-4

  7. 24x−124x-1

  8. x+yx+y

  9. 2x−22x-2

  10. −ab2+2-ab^2+2

  11. −1−b-1-b

  12. 6u−4u26u-4u^2

  13. 12u3−2u12u^3-2u

Solution
  1. 3a−4ab=a⋅3−a⋅4b=a(3−4b)3a-4ab=a\cdot 3-a\cdot 4b= a(3-4b)
  2. 2a2+ab=a⋅2a+a⋅b=a(2a+b)2a^2+ab=a\cdot 2a+a\cdot b=a(2a+b)
  3. a+1=a⋅1+a1a=a(1+1a)a+1=a\cdot 1+a\frac{1}{a}=a(1+\frac{1}{a})
  4. ab−a+a3=a⋅b−a⋅1+a⋅a2=a(b−1+a2)ab-a+a^3=a\cdot b-a\cdot 1+a\cdot a^2=a(b-1+a^2)
  5. 4x−16=4⋅x−4⋅4=4(x−4)4x-16=4\cdot x-4\cdot 4=4(x-4)
  6. 16x−4=4⋅4x−4⋅1=4(4x−1)16x-4=4\cdot 4x-4\cdot 1=4(4x-1)
  7. 24x−1=4⋅6x−4⋅14=4(6x−14)24x-1=4\cdot 6x-4\cdot\frac{1}{4}=4(6x-\frac{1}{4})
  8. x+y=−(−x−y)x+y=-(-x-y)
  9. 2x−2=−(−2x+2)2x-2=-(-2x+2)
  10. −ab2+2=−(ab2−2)-ab^2+2=-(ab^2-2)
  11. −1−b=−(1+b)-1-b=-(1+b)
  12. 6u−4u2=2u⋅3−2u⋅2u=2u(3−2u)6u-4u^2=2u\cdot 3-2u\cdot 2u=2u(3-2u)
  13. 12u3−2u=2u⋅6u2−2u⋅1=2u(6u2−1)12u^3-2u=2u\cdot 6u^2-2u\cdot 1=2u(6u^2-1)
Exercise 5: Brüche vereinfachen mit Variablen

Vereinfache die folgenden Brüche so weit wie möglich durch Ausklammern und Kürzen:

  1. 3a+3b3\frac{3a + 3b}{3}

  2. x2−xx\frac{x^2 - x}{x}

  3. 5ab−10ac5a\frac{5ab - 10ac}{5a}

  4. x2−y2x−y\frac{x^2 - y^2}{x - y}

  5. a2+2ab+b2a+b\frac{a^2 + 2ab + b^2}{a + b}

  6. 4x−8y12x−24y\frac{4x - 8y}{12x - 24y}

  7. z3−z2z2−z\frac{z^3 - z^2}{z^2 - z}

  8. 2a2+4aa2−4\frac{2a^2 + 4a}{a^2 - 4}

  9. x(y+z)−a(y+z)x−a\frac{x(y + z) - a(y + z)}{x - a}

  10. 6ab+9ac12ab2+18abc\frac{6ab + 9ac}{12ab^2 + 18abc}

Solution
  1. Zähler ausklammern: 3(a+b)3=a+b\frac{3(a+b)}{3} = a+b
  2. xx im Zähler ausklammern: x(x−1)x=x−1\frac{x(x-1)}{x} = x-1
  3. 5a5a im Zähler ausklammern: 5a(b−2c)5a=b−2c\frac{5a(b-2c)}{5a} = b-2c
  4. Anwendung der 3. Binomischen Formel (x2−y2=(x−y)(x+y)x^2-y^2 = (x-y)(x+y)): (x−y)(x+y)x−y=x+y\frac{(x-y)(x+y)}{x-y} = x+y
  5. Anwendung der 1. Binomischen Formel (a2+2ab+b2=(a+b)2a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2): (a+b)2a+b=a+b\frac{(a+b)^2}{a+b} = a+b
  6. Zähler und Nenner faktorisieren: 4(x−2y)12(x−2y)=412=13\frac{4(x-2y)}{12(x-2y)} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}
  7. Potenzen ausklammern: z2(z−1)z(z−1)=z2z=z\frac{z^2(z-1)}{z(z-1)} = \frac{z^2}{z} = z
  8. Oben ausklammern, unten 3. Binomische Formel: 2a(a+2)(a−2)(a+2)=2aa−2\frac{2a(a+2)}{(a-2)(a+2)} = \frac{2a}{a-2}
  9. Den gemeinsamen Term (y+z)(y+z) im Zähler als Faktor betrachten: (y+z)(x−a)x−a=y+z\frac{(y+z)(x-a)}{x-a} = y+z
  10. Komplexe Faktorisierung: 3a(2b+3c)6ab(2b+3c)=3a6ab=12b\frac{3a(2b+3c)}{6ab(2b+3c)} = \frac{3a}{6ab} = \frac{1}{2b}