Distanz Probleme

Kürzeste Distanz zwischen einem Punkt und einer Ebene

Die Ebene EE enthält den Punkt AA und hat den Normalenvektor n⃗\vec{n}. Ebenfalls gegeben ist ein Punkt PP. Finde die kürzeste Distanz d(P,E)d(P,E) zwischen PP und der Ebene EE.

Recipe 1

Idee:

  1. Finde die Gerade gg welche durch PP geht und orthogonal zu EE ist.
  2. Schneide gg mit EE um den Schnittpunkt SS zu erhalten.
  3. Es ist dann d(P,E)=∣PS→∣d(P,E)=\vert \overrightarrow{PS}\vert (siehe Skizze unten).
Example 1

Ebene EE enthält den Punkt A(5∣2∣−3)A(5\vert 2\vert -3) und besitzt den Normalenvektor n⃗=(231)\vec{n}=\left(\begin{array}{r} 2\\ 3\\ 1 \end{array}\right). Finde die kürzeste Distanz zwischen dem Punkt P(1∣−1∣−2)P(1\vert -1 \vert -2) und EE.

Solution

  1. Bestimme gg durch PP: gg hat den Richtungsvektor v⃗=n⃗\vec v = \vec{n}. Die Geradengleichung ist somit

    (xyz)=(1−1−2)+c⋅(231)=(1+2c−1+3c−2+c)\left(\begin{array}{ccc} x \\ y\\ z \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc} 1 \\ -1\\ -2 \end{array}\right)+c\cdot \left(\begin{array}{ccc} 2 \\ 3\\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 1+2c \\ -1+3c\\ -2+c \end{array}\right)

  2. Schneide gg mit EE um S(x∣y∣z)S(x\vert y\vert z) zu bekommen: Die Normalengleichung der Ebene ist

    2x+3y+z=132x+3y+z = 13

    Wir müssen also das folgende Gleichungssystem auflösen:

    ∣2x+3y+z=13x=1+2cy=−1+3cz=−2+c∣\left\vert\begin{array}{rll} 2x+ 3y + z &=& 13\\ x &=& 1+2c\\ y &=& -1+3c\\ z &=& -2+c\\ \end{array}\right\vert

    Für cc bekommen wir also

    2+4c−3+9c−2+c=132+4c-3+9c-2+c=13

    und somit c=87c=\frac{8}{7}. Es folgt S(237∣177∣−67)S(\frac{23}{7}\vert \frac{17}{7}\vert -\frac{6}{7}).

  3. Die kürzeste Distanz ist somitd(P,E)=∣PS→∣=∣(23/7−117/7+1−6/7+2)∣=896/49=4.27d(P,E)=\vert\overrightarrow{PS}\vert=\left\vert\left(\begin{array}{r} 23/7-1\\ 17/7+1\\ -6/7+2 \end{array}\right)\right\vert = \sqrt{896/49}=4.27

Kürzeste Distanz zwischen einem Punkt und einer Geraden

Die Gerade gg geht durch den Punkt AA und hat den Richtungsvektor v⃗\vec v. Finde die kürzeste Distanz d(P,g)d(P,g) zwischen PP und gg.

Recipe 2

Idee 1:

  1. Finde die Ebene EE welche PP enthält und den Normalenvektor n⃗=v⃗\vec n = \vec v besitzt.
  2. Schneide EE mit gg um den Schnittpunkt SS zu bekommen.
  3. Es ist dann d(P,g)=∣PS→∣d(P,g)=\vert \overrightarrow{PS}\vert (siehe Skizze unten).

Idee 2:

  1. Finde einen Punkt SS auf gg mit PS→⊥v⃗\overrightarrow{PS} \perp \vec{v}.
  2. Es ist dann d(P,g)=∣PS→∣d(P,g)=\vert \overrightarrow{PS}\vert (siehe Skizze unten).

Wiederum ein Beispiel zur Illustration.

Example 2

Die Gerade gg geht durch den Punkt A(2∣3∣−5)A(2\vert 3\vert -5) und hat den Richtungsvektor v⃗=(20−1)\vec{v} = \left(\begin{array}{r} 2\\ 0\\ -1 \end{array}\right). Finde die kürzeste Distanz zwischen dem Punkt P(−1∣−2∣4)P(-1\vert -2\vert 4) und gg.

Solution

Idee 1

  1. Finde die Ebene EE welche PP enthält: Der Normalenvektor ist n⃗=v⃗\vec n =\vec v, also

    2x+0y−z=d2x+0y-z=d

    wobei

    d=−2+0−4=−6d=-2+0-4=-6

    Die Normalengleichung ist also

    2x−z=−62x-z=-6

  2. Finde den Schnittpunkt S(x∣y∣z)S(x\vert y\vert z) zwischen gg und EE. Die Geradengleichung ist

    (xyz)=(23−5)+c⋅(20−1)=(2+2c3−5−c)\left(\begin{array}{ccc} x \\ y\\ z \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc} 2 \\ 3\\ -5 \end{array}\right)+c\cdot \left(\begin{array}{ccc} 2 \\ 0\\ -1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 2+2c \\ 3\\ -5-c \end{array}\right)

    Wir müssen also das folgende Gleichungssystem lösen:

    ∣2x−z=−6x=2+2cy=3z=−5−c∣\left\vert\begin{array}{rll} 2x-z &=& -6\\ x &=& 2+2c\\ y &=& 3\\ z &=& -5-c\\ \end{array}\right\vert

    Wir bekommen 4+4c+5+c=−64+4c+5+c=-6 und somit c=−3c=-3 was zum Punkt S(−4∣3∣−2)S(-4 \vert 3\vert -2) führt.

  3. Die kürzeste Distanz ist

    d(P,g)=∣PS→∣=∣(−35−6)∣=70d(P,g)=\vert \overrightarrow{PS}\vert = \left\vert \left(\begin{array}{r} -3\\ 5\\ -6 \end{array}\right) \right\vert =\sqrt{70}

Idee 2

  1. Finde Punkt S(x∣y∣z)S(x\vert y\vert z) mit S∈gS\in g und PS→∙v⃗=0\overrightarrow{PS} \bullet \vec{v}=0: Wegen S∈gS\in g folgt

    AS→=c⋅v⃗→(x−2y−3z+5)=(2c0−c)\overrightarrow{AS} = c\cdot \vec v \rightarrow \left(\begin{array}{r} x-2\\ y-3\\ z+5 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} 2c\\ 0\\ -c \end{array}\right)

    Es ist also →x=2c+2,y=3,z=−c−5\rightarrow x=2c+2, y=3, z=-c-5. Wegen PS→∙v⃗=0\overrightarrow{PS} \bullet \vec{v}= 0 folgt

    (x+1y+2z−4)∙(20−1)=2(x+2)−(z−4)=0\left(\begin{array}{r} x+1\\ y+2\\ z-4 \end{array}\right) \bullet \left(\begin{array}{r} 2\\ 0\\ -1 \end{array}\right) = 2(x+2)-(z-4) = 0

    Setzen wir die Ausdrücke für x,yx, y und zz von oben in diese Gleichung ein, so erhalten wir

    2(2c+2+1)−(−c−5−4)=5c+15=02(2c+2+1)-(-c-5-4)=5c+15=0

    und somit c=−3c=-3, und S(−4∣3∣−2)S(-4 \vert 3\vert -2).

  2. Die kürzeste Distanz ist

    d(P,g)=∣PS→∣=∣(−35−6)∣=70d(P,g)=\vert \overrightarrow{PS}\vert = \left\vert \left(\begin{array}{r} -3\\ 5\\ -6 \end{array}\right) \right\vert =\sqrt{70}

Kürzeste Distanz zwischen zwei parallelen Ebenen

Dieses Problem kann auf das Problem "Distanz zwischen einem Punkt und einer Ebene" zurückgeführt werden: Einfach einen Punkt auf einer Ebene wählen, und die kürzeste Distanz zwischen diesem Punkt und der anderen Ebene berechnen.

Kürzeste Distanz zwischen zwei parallelen Geraden

Dieses Problem kann auf das Problem "Distanz zwischen einem Punkt und einer Geraden" zurückgeführt werden: Einfach einen Punkt auf einer Geraden wählen, und die kürzeste Distanz zwischen diesem Punkt und der anderen Gerade berechnen.