Gerade und Ebene schneiden

Eine Gerade gg geht durch den Punkt UU und hat Richtungsvektor v⃗\vec{v}, und eine Ebene EE enthält den Punkt AA und hat den Normalenvektor n⃗\vec{n}. Was sind mögliche relative Lagen zwischen gg und EE? Es gibt nur zwei Möglichkeiten:

Parallel

gg ist parallel zu EE, im welchen Fall gelten muss (siehe Skizze unten), dass

v⃗⊥n⃗\vec{v} \perp \vec{n}

Nehmen wir nun an, dass g∣∣Eg || E. Wir können nun prüfen, ob gg tatsächlich in der Ebene liegt, oder nicht. Dazu müssen wir nur prüfen, ob U∈EU\in E liegt. Wenn das der Fall ist, dann muss die ganze Linie in EE liegen (weil gg parallel zu EE ist). Wenn UU nicht in EE ist, dann liegt gg nicht in EE.

Gerade schneidet Ebene

gg ist nicht parallel zu EE, und somit gibt es genau einen Schnittpunkt SS zwischen gg und EE.

Wie können wir SS berechnen? Da SS sowohl auf gg wie auch auf EE ist, muss SS muss SS die beiden folgenden Bedingungen erfüllen:

US→∥v⃗ and AS→⊥n⃗\boxed{\overrightarrow{US} \parallel \vec v \text{ and } \overrightarrow{AS} \perp \vec n}

Im Prinzip genügt das, um SS zu bestimmen, aber machen wir dies nun explizit, und erstellen die Gleichungen, die dahinter stecken. Setzen wir S(x∣y∣z)S(x\vert y\vert z). Da SS auf EE liegt, muss SS die die Normalengleichung von EE erfüllen:

nxx+nyy+nzz=dn_x x + n_y y + n_z z=d

und da SS auch auf gg liegt, gilt für SS auch die Geradengleichung:

(xyz)=(UxUyUz)+c⋅(vxvyvz)\left(\begin{array}{ccc} x \\ y\\ z \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc} U_x \\ U_y\\ U_z \end{array}\right)+c\cdot \left(\begin{array}{ccc} v_x \\ v_y\\ v_z \end{array}\right)

Wir haben somit vier Gleichungen für die Koordinaten von SS:

∣nx⋅x+ny⋅y+nz⋅z=dx=Ux+cvxy=Uy+cvyz=Uz+cvz∣\left\vert\begin{array}{rll} n_x\cdot x + n_y \cdot y + n_z \cdot z &=& d\\ x &=& U_x+c v_x\\ y &=& U_y+c v_y\\ z &=& U_z+c v_z\\ \end{array}\right\vert

Wir können nun diese Gleichungen auflösen, und finden so die Koordinaten von SS. Wir zeigen dies Anhand eines Beispiels.

Example 1

Die Ebene EE enthält den Punkt A(0∣0∣9)A(0\vert 0\vert 9) und besitzt den Normalenvektor n⃗=(14−3)\vec{n}=\left(\begin{array}{r} 1\\ 4\\ -3 \end{array}\right). Die Gerade gg geht durch den Punkt U(7∣2∣9)U(7\vert 2\vert 9) und hat den Richtungsvektor v⃗=(−234)\vec{v}=\left(\begin{array}{r} -2\\ 3\\ 4 \end{array}\right). Berechne den Schnittpunkt SS zwischen gg und EE.

Solution

gg ist nicht parallel zu EE, da v⃗∙n⃗=−2+12−12=2≠0\vec{v}\bullet \vec{n}=-2+12-12=2\neq 0, ein Schnittpunkt SS existiert also. Setzen wir S(x∣y∣z)S(x\vert y\vert z). Die Koordinaten von SS müssen die Normalengleichung der Ebene erfüllen:

x+4y−3z=−27x+4y-3z=-27

und auch die Geradengleichung von gg:

(xyz)=(729)+c⋅(−234)\left(\begin{array}{ccc} x \\ y\\ z \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc} 7 \\ 2\\ 9 \end{array}\right)+c\cdot \left(\begin{array}{ccc} -2 \\ 3\\ 4 \end{array}\right)

Wir erhalten also die vier Gleichungen

∣x+4y−3z=−27x=7−2cy=2+3cz=9+4c∣\left\vert\begin{array}{rll} x + 4y -3z &=& -27\\ x &=& 7-2c\\ y &=& 2+3c\\ z &=& 9+4c\\ \end{array}\right\vert

Um sie zu lösen, setzen wir zuerst die drei unteren Gleichungen in die oberste ein:

7−2c+4⋅(2+3c)−3⋅(9+4c)=−277-2c+4\cdot (2+3c)- 3\cdot (9+4c)=-27

Wir können nun nach cc auflösen und erhalten c=7.5c=7.5. Es ist nun einfach, x,yx, y und zz zu berechnen:

x=−8y=24.5z=39\begin{array}{lll} x &=&-8\\ y &=& 24.5\\ z &=& 39 \end{array}

Der Schnittpunkt ist also S(−8∣24.5∣39)‾\underline{S(-8\vert 24.5\vert 39)}.

Exercise 1

Die Ebene EE enthält den Punkt A(4∣4∣2)A(4\vert 4\vert 2) und besitzt den Normalenvektor n⃗=(−2−23)\vec{n}=\left(\begin{array}{r} -2\\ -2\\ 3 \end{array}\right). Die Gerade gg geht durch den Punkt U(1∣2∣−3)U(1\vert 2\vert -3) und hat den Richtungsvektor v⃗=(112)\vec{v}=\left(\begin{array}{r} 1\\ 1\\ 2 \end{array}\right). Finde den Schnittpunkt SS zwischen gg und EE.

Solution

gg ist nicht parallel zu EE, da v⃗∙n⃗=2≠0\vec{v}\bullet \vec{n}=2\neq 0, es gibt also einen Schnittpunkt S(x∣y∣z)S(x\vert y\vert z). Für die Koordinaten von SS muss gelten:

−2x−2y+3z=−10-2x-2y+3z=-10

und

(xyz)=(12−3)+c⋅(112)\left(\begin{array}{ccc} x \\ y\\ z \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc} 1 \\ 2\\ -3 \end{array}\right)+c\cdot \left(\begin{array}{ccc} 1 \\ 1\\ 2 \end{array}\right)

Wir erhalten also die vier Gleichungen

∣−2x−2y+3z=−10x=1+cy=2+cz=−3+2c∣\left\vert\begin{array}{rll} -2x-2y+3z &=& -10\\ x &=& 1+c\\ y &=& 2+c\\ z &=& -3+2c\\ \end{array}\right\vert

Wir erhalten

−2(1+c)−2(2+c)+3(−3+2c)=−10-2(1+c)-2(2+c)+3(-3+2c)=-10

und somit c=2.5c=2.5. Die Koordinaten sind also

x=3.5y=4.5z=2\begin{array}{lll} x &=&3.5\\ y &=& 4.5\\ z &=& 2 \end{array}

daher S(3.5∣4.5∣2)‾\underline{S(3.5\vert 4.5 \vert 2)}.

Exercise 2

Die Ebene EE enthält den Punkt A(0∣0∣9)A(0\vert 0\vert 9) und besitzt den Normalenvektor n⃗=(04−3)\vec{n}=\left(\begin{array}{r} 0\\ 4\\ -3 \end{array}\right). Die Gerade gg geht durch den Punkt U(7∣2∣9)U(7\vert 2\vert 9) und hat den Richtungsvektor v⃗=(−234)\vec{v}=\left(\begin{array}{r} -2\\ 3\\ 4 \end{array}\right). Finde den Schnittpunkt SS zwischen gg und EE.

Solution

Es gibt keinen Schnittpunkt, da gg und EE parallel sind:

v⃗∙n⃗=0+12−12=0\vec{v}\bullet \vec{n}=0+12-12=0

und gg ist nicht in EE:

AU→∙n⃗=0+8+0≠0\overrightarrow{AU} \bullet \vec{n} = 0+8+0 \neq 0

Wir können natürlich trotzdem versuchen, einen Schnittpunkt zu berechnen, erhalten dann aber eine Gleichung mit keiner Lösung, etwa

0+12c+8−12c=0→8=0 ???0 + 12c+8 -12c = 0\rightarrow 8=0 \,???

Liegt hingegen gg in EE, so würden wir eine Gleichung der Form

c=cc=c

oder

0=00=0

erhalten. Dies bedeutet, dass wir keine Bedingung an cc erhalten, und wir somit cc beliebig wählen können. Es gibt also unendlich viele Schnittpunkte. Um einen zu finden, einfach einen beliebigen Wert für cc wählen.