Das Vektorprodukt

Gegeben sind zwei Vektoren a⃗\vec{a} und b⃗\vec{b}. Das Vektorprodukt (or Kreuzprodukt) von a⃗\vec{a} und b⃗\vec{b} geschrieben als a⃗×b⃗\vec{a} \times \vec{b}, ist ein neuer Vektor der wie folgt definiert ist:

a⃗×b⃗=(aybz−azbyazbx−axbzaxby−aybx)\vec{a}\times \vec{b} = \left(\begin{array}{r} a_y b_z-a_z b_y \\ a_z b_x-a_x b_z \\ a_x b_y - a_y b_x \end{array}\right)

Es gibt mehrere Möglichkeiten, sich zu merken, wie die Komponenten berechnet werden müssen. Hier ist eine davon:

Example 1

Bestimme das Vektorprodukt a⃗×b⃗\vec{a}\times \vec{b}:

  1. a⃗=(1−23)\vec{a}=\left(\begin{array}{r} 1 \\ -2 \\ 3 \end{array}\right), b⃗=(43−1)\vec{b}=\left(\begin{array}{r} 4 \\ 3 \\ -1 \end{array}\right)

  2. a⃗=(100)\vec{a}=\left(\begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right), b⃗=(010)\vec{b}=\left(\begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)

Solution

Die wichtigste Eigenschaft des Vektorprodukts ist, dass der Vektor a⃗×b⃗\vec{a}\times \vec{b} orthogonal ist zu a⃗\vec{a} wie auch zu b⃗\vec{b} (siehe Skizze unten):

(a⃗×b⃗)⊥a⃗  and  (a⃗×b⃗)⊥b⃗\boxed{(\vec{a}\times \vec{b}) \perp \vec{a} \, \text{ and }\, (\vec{a}\times \vec{b}) \perp \vec{b}}

Der Beweis ist als Übung weiter unten gegeben.

Eine typische Anwendung dieser Eigenschaft besteht darin, den Normalenvektor n⃗\vec n einer Ebene EE zu finden, welche nur durch drei Punkte A,BA, B and CC gegeben ist (siehe Skizze unten).

Aus der Skizze folgt sofort, dass wir ein Normalenvektor von EE wie folgt finden können:

n⃗=AB→×AC→\boxed{ \vec n = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}}
Example 2

Die Ebene EE enthält die Punkte A(1∣−1∣2),B(4∣2∣−1)A(1\vert -1\vert 2), B(4\vert 2\vert -1) und C(−1∣2∣4)C(-1 \vert 2\vert 4). Bestimme die Normalengleichung von EE.

Solution

Wir bestimmen zuerst den Normalenvektor n⃗\vec n von EE mit Hilfe des Vektorprodukts:

n⃗=AB→×AC→=(33−3)×(−232)=(15015)\vec n = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \left(\begin{array}{r} 3 \\ 3 \\ -3 \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{r} -2 \\ 3 \\ 2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} 15 \\ 0\\ 15 \end{array}\right)

Wir können diesen Vektor nehmen, oder einen einfacheren, der kollinear dazu ist (ist ja immer noch ein Normalenvektor von EE), wie zum Beispiel

n⃗=(101)\vec n = \left(\begin{array}{r} 1 \\ 0\\ 1 \end{array}\right)

Wir brauchen nun diesen Vektor. Um die Normalengleichung zu bestimmen, brauchen wir noch einen weiteren Punkt in EE. Nehmen wir AA. Es gilt dann d=1+0+2=3d=1+0+2=3, und die Normalengleichung ist somit

x+z=3x+z=3

Beachte, dass wir mit BB oder CC auf die gleiche Gleichung gekommen wären.

Eine andere nützliche Eigenschaft betrifft den Betrag des Vektorprodukts a⃗×b⃗\vec a \times \vec b:

∣a⃗×b⃗∣=∣a⃗∣⋅∣b⃗∣⋅sin⁡(γ)\boxed{\vert \vec{a}\times \vec{b}\vert =\vert \vec a\vert \cdot \vert \vec b\vert \cdot \sin(\gamma)}

Die rechte Seite der Gleichung ist nichts anderes als die Formel zur Bestimmung der Fläche des Parallelogramms, das durch die Vektoren a⃗\vec a und b⃗\vec b aufgespannt wird (siehe Skizze unten). Der Beweis dieser Eigenschaft beweisen wir nicht, da er ziemlich technisch ist.

Example 3

Gegeben sind die Punkte A(2∣1∣−2),B(3∣3∣1),C(−3∣2∣0)A(2\vert 1\vert -2), B(3\vert 3\vert 1), C(-3\vert 2\vert 0) and D(−2∣4∣3)D(-2\vert 4\vert 3).

  1. Bestimme die Fläche des Parallelogramms ABCDABCD.

  2. Bestimme die Fläche des Dreiecks ABCABC.

Solution

  1. Wir berechnen zuerst das Vektorprodukt:

    AB→×AC→=(123)×(−512)=(1−1711)\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \left(\begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{r} -5 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} 1 \\ -17\\ 11 \end{array}\right)

    Die Fläche des Parallelogramms ist somit

    A=∣AB→×AC→∣=12+(−17)2+112=20.273‾A=\vert \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\vert = \sqrt{1^2+(-17)^2+11^2}=\underline{20.273}

  2. Die DreiEcksfläche ist gerade die Hälfte der Fläche des Parallelogramms (siehe Skizze unten). Es gilt also

    A=12∣AB→×AC→∣=10.137‾A=\frac{1}{2}\vert \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\vert = \underline{10.137}
Exercise 1
F1

Beweise, dass gilt (a⃗×b⃗)⊥a⃗(\vec a \times \vec b) \perp \vec a und (a⃗×b⃗)⊥b⃗(\vec a \times \vec b) \perp \vec b

F2

Die Ebene EE enthält die drei Punkte A(1∣−1∣2)A(1\vert -1 \vert 2), B(−1∣1∣1)B(-1\vert 1\vert 1), und C(4∣−2∣5)C(4\vert -2\vert 5). Bestimme

  1. die Normalengleichung von EE.

  2. die Fläche des Dreiecks ABCABC.

Solution
A1

Wir müssen zeigen, dass (a⃗×b⃗)∙a⃗=0(\vec{a}\times \vec{b})\bullet \vec{a}=0.

(a⃗×b⃗)∙a⃗=(aybz−azbyazbx−axbzaxby−aybx)∙(axayaz)=aybzax−azbyax+azbxay−axbzay+axbyaz−aybxaz=0\begin{array}{lll} (\vec{a}\times \vec{b})\bullet \vec a & = & \left(\begin{array}{r} a_y b_z-a_z b_y \\ a_z b_x-a_x b_z \\a_x b_y - a_y b_x\end{array}\right) \bullet \left(\begin{array}{r} a_x \\ a_y\\ a_z \end{array}\right)\\ & = & a_y b_z a_x -a_z b_y a_x + a_z b_x a_y -a_x b_z a_y + a_x b_y a_z - a_y b_x a_z \\ & = & 0\end{array}

Analog lässt sich zeigen, dass gilt (a⃗×b⃗)∙b⃗=0(\vec{a}\times \vec{b})\bullet \vec{b}=0.

A2

  1. Ein Normalenvektor von EE ist

    n⃗=AB→×AC→=(−22−1)×(3−13)=(53−4)\vec{n}=\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \left(\begin{array}{r} -2 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{r} 3 \\ -1 \\ 3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} 5 \\ 3\\ -4 \end{array}\right)

    Da Punkt AA in EE ist, haben wir d=−6d=-6. Die Normalengleichung ist also

    5x+3y−4y=−65x+3y-4y=-6

  2. Wir brauchen den Betrag des Vektorprodukts:

    A=12∣AB→×AC→∣=12∣n⃗∣=1252+32+(−4)2=3.536\begin{array}{lll} A&=& \frac{1}{2}\vert \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\vert \\ &=& \frac{1}{2}\vert \vec n\vert \\ &=& \frac{1}{2}\sqrt{5^2+3^2+(-4)^2} \\ &=& 3.536 \end{array}