Orthogonale Vektoren

Zwei von $\vec 0$ verschiedene Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ werden orthogonal genannt, geschrieben als

\vec{a} \perp \vec{b}

falls sie einen rechten Winkel bilden (daher $\alpha = 90^\circ$ ).

Beachte, dass $\cos(\alpha)=0$ genau dann wenn $\alpha=90^\circ, 270^\circ, ...$ . Wegen der Winkelformel

\cos(\alpha)=\frac{\vec{a}\bullet \vec{b}}{\vert\vec{a}\vert\cdot \vert\vec{b}\vert}

erhalten wir damit

\boxed{\vec{a} \perp \vec{b}\text{ genau dann, wenn } \vec{a}\bullet \vec{b}=0}

Wir haben also eine einfache Möglichkeit zu überprüfen, ob zwei Vektoren einen rechten Winkel bilden. Dies wird später sehr hilfreich sein.

Example 1

Die Vektoren $\left(\begin{array}{r} 2\\ 3\\ 4 \end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{r} 0\\ -4\\ 3 \end{array}\right)$ sind orthogonal, da

\left(\begin{array}{r} 2\\ 3\\ 4 \end{array}\right) \bullet \left(\begin{array}{r} 0\\ -4\\ 3 \end{array}\right)=2\cdot 0+ 3\cdot(-4)+ 4\cdot 3 =0

Exercise 1

F1

Sind die Vektoren $\left(\begin{array}{r} 1\\ -2\\ 3 \end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{r} 2\\ 1\\ -3 \end{array}\right)$ orthogonal?

F2

Finde mindestens einen von $\vec 0$ verschieden Vektor, der orthogonal zum Vektor $\vec{a}=\left(\begin{array}{r} 3\\ 1\\ -2 \end{array}\right)$ ist. Wie viele solche Vektoren gibt es, und welches geometrisches Objekt bilden alle diese Pfeile, wenn sie am Startpunkt von $\vec a$ angehängt werden?

F3

Gegeben sind die Punkte $A(2\vert 0\vert 0)$ und $B(0 \vert 3 \vert 0)$ . Eine Gerade $g$ geht durch den Koordinatennullpunkt und hat die Richtung $\vec{v}=\left(\begin{array}{r} 0\\ 1\\ 1 \end{array}\right)$ . Finde alle Punkte $P$ auf $g$ so, dass die Segmente $AP$ und $BP$ einen rechten Winkel bilden.

Solution

A1

$\left(\begin{array}{r} 1\\ -2\\ 3 \end{array}\right) \bullet \left(\begin{array}{r} 2\\ 1\\ -3 \end{array}\right)=1\cdot 2+ (-2)\cdot 1+ 3\cdot (-3) \neq 0$ , also nicht orthogonal.

A2

Finde den Vektor $\vec b$ mit

\vec a \bullet \vec b=3b_x+b_y-2b_z=0

zBsp. $b_x=0, b_y=1$ , also $b_z=0.5$ , oder zBsp. $b_x=1, b_y=1$ , und somit $b_z=2$ , und so weiter. Einfach $b_x$ und $b_z$ Werte zuordnen, und $b_z$ mit obiger Gleichung berechnen. Es gibt unendlich viele solcher Vektoren, und die Pfeilspitzen bilden eine Ebene.

A3

Finde Punkt $P(x\vert y\vert z)$ mit $P$ auf $g$ und $\overrightarrow{AP} \perp \overrightarrow{BP}$ (siehe Skizze).

Da $P$ auf $g$ muss es einen Skalar $c$ geben mit
$\vec P = \vec O +c\cdot \vec v$ $\left(\begin{array}{r} x\\ y\\ z \end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} 0\\ 0\\ 0 \end{array}\right) + c\cdot \left(\begin{array}{r} 0\\ 1\\ 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} 0\\ c\\ c \end{array}\right)$
also
$\begin{array}{r} x=0\\y=c\\z=c \end{array}$
Wegen $\overrightarrow{AP} \perp \overrightarrow{BP}$ folgt
$\overrightarrow{AP} \bullet \overrightarrow{BP} =0$ $\left(\begin{array}{r} -2\\ c\\ c \end{array}\right)\bullet \left(\begin{array}{r} 0\\ c-3\\ c \end{array}\right) = 0$ $0+c(c-3)+c^2 = 0$ $2c^2-3c=0$
Wird die Gleichung nach $c$ aufgelöst, folgt $c_1=0$ und $c_2=1.5$ . Es folgt $P_1=\underline{(0 \vert 0 \vert 0)}$ und $P_2=\underline{(0\vert 1.5\vert 1.5)}$ .