Ebenen im Raum

Um die Lage einer Ebene $E$ im Raum zu beschreiben, brauchen wir einen Punkt $A$ , der auf der Ebene liegt und einen Vektor $\vec n$ welcher orthogonal auf $E$ steht. Dieser Vektor wird Normalenvektor genannt.

Bemerkungen:

Ebenen haben keine Grenze, obwohl wir aus künstlerischen Gründen eine zeichnen.
Ebenen können als Ansammlung oder Menge von unendlich vielen Punkten gedacht werden. Ist ein Punkt $A$ in der Ebene, können wir also schreiben $A \in E$ .

Lies die folgenden Beispiele sorgfältig durch, und versuche sie zu verstehen.

Example 1

Die Ebenen mit dem Punkt $A(0\vert 0\vert 1)$ und Normalenvektor $\vec{n}=\left(\begin{array}{r} 0\\ 0\\ 1 \end{array}\right)$ ist parallel zur $xy$ -Ebene.
Die Ebene mit dem Punkt $A(0\vert 0\vert 1)$ und Normalenvektor $\vec{n}=\left(\begin{array}{r} 0\\ 0\\ -10 \end{array}\right)$ ist die gleiche Ebene wie oben.
Die $yz$ -Ebene hat den Normalenvektor $\vec{n}=\left(\begin{array}{r} 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right)$ oder $\vec{n}=\left(\begin{array}{r} -0.1\\ 0\\ 0 \end{array}\right)$ oder $\vec{n}=\left(\begin{array}{r} 140.321\\ 0\\ 0 \end{array}\right)$ und enthält den Koordinatennullpunkt.

Gegeben sei die Ebene $E$ welche den Punkt $A$ enthält und den Normalenvektor $\vec n$ besitzt. Wie können wir überprüfen, ob ein beliebiger Punkt $P$ auf der Ebene liegt?

Von der obigen Skizze sehen wir das folgende:

\boxed{P \in E\,\text{ if }\, \overrightarrow{AP} \perp \vec{n}}

Beachte, dass $\overrightarrow{AP} \perp \vec{n}$ falls

\begin{array}{rll} \overrightarrow{AP} \bullet \vec{n} &=& (\vec{P}-\vec{A})\bullet \vec n=0\\ &=& (\vec{P}-\vec{A})\bullet \vec n = 0\\ &=& \left(\begin{array}{r} P_x-A_x\\ P_y-A_y\\ P_z-A_z \end{array}\right)\bullet \left(\begin{array}{r} n_x\\ n_y\\ n_z \end{array}\right)=0\\ &=& (P_x-A_x)n_x+(P_y-A_y)n_y+(P_z-A_z)n_z\\ &=& P_x n_x + P_y n_y + P_z n_z -(A_x n_x+A_y n_y+A_z n_z)=0 \end{array}

Der Punkt $P$ liegt also in der $E$ dann, und nur dann, wenn

n_x P_x + n_y P_y + n_z P_z=\underbrace{n_x A_x + n_y A_y + n_z A_z}_{=d}

Diese Gleichung heisst die Normalengleichung von $E$ .

Fassen wir zusammen:

Theorem 1

Eine Ebene $E$ mit Normalenvektor $\vec n$ enthalte den Punkt $A$ . Alle Punkte $(x\vert y\vert z)$ auf $E$ müssen die Normalengleichung

n_x x+ n_y y+ n_z z = d

erfüllen, wobei $d$ wie folgt berechnet wird:

d=n_x A_x + n_y A_y + n_z A_z

Example 2

Eine Ebene $E$ enthält den Punkt $A(1\vert 0\vert 1)$ und besitzt den Normalenvektor $\vec n=\left(\begin{array}{r} 7\\ -4\\ 5 \end{array}\right)$ . Liegt der Punkt $P(3\vert 1\vert 2)$ in $E$ ?

Solution

Methode 1: Nein, da

\overrightarrow{AP} \bullet \vec{n} = \left(\begin{array}{r} 3-1\\ 1-0\\ 2-1 \end{array}\right) \bullet \left(\begin{array}{r} 7\\ -4\\ 5 \end{array}\right) = 14-4+5=15\neq 0

Methode 2: Für alle Punkte $(x\vert y \vert z)$ von $E$ muss die Normalengleichung gelten:

n_x x +n_y y+ n_z z= d

wobei $n_x=7, n_y=-4$ und $n_z=5$ und $d$ wird wie folgt berechnet:

\begin{array}{lll} d &=& A_x n_x + A_y n_y + A_z n_z\\ &=& 7\cdot 1+ (-4)\cdot 0+ 5\cdot 1 = 12 \end{array}

Wir erhalten somit die Normalengleichung

7 x -4 y+ 5 z= 12

Setzen wir also die Koordinaten von $P$ ein, so haben wir

7\cdot 3+ (-4)\cdot 1+ 5\cdot 2 = 27 \neq 12

$P$ ist also nicht in $E$ .

Example 3

Eine Ebene $E$ enthält die Punkte $A(2\vert 3\vert -1)$ und hat den Normalenvektor

\vec n=\left(\begin{array}{r} 2\\ -3\\ 8 \end{array}\right)

Bestimme die Normalengleichung von $E$ . Brauche diese Gleichung um zu testen, ob der Punkt $U(1.5\vert 4\vert -0.5)$ in $E$ ist.

Solution

$d=2\cdot 2+(-3)\cdot 3+ 8\cdot (-1)=-13$ . Also ist ein Punkt $(x \vert y\vert z)$ in $E$ genau dann, wenn

2x -3y + 8z = -13

Dies ist die Geradengleichung von $E$ . Um zu überprüfen, ob $U$ in $E$ ist, setzen wir dessen Koordinaten in die Gleichung ein:

2\cdot 1.5 - 3\cdot 4+8\cdot (-0.5)=-13

$U$ ist also $E$ .

Example 4

Eine Ebene $E$ hat die Normalengleichung

5x-2y+6z=2

Finde einen Normalenvektor von $E$ . Und bestimme eine Punkt von $E$ .

Solution

Ein Normalenvektor ist

\vec n=\left(\begin{array}{r} 5\\ -2\\ 6 \end{array}\right)

Ein Punkt $P(\vert x \vert y \vert z)$ liegt in $E$ , falls

5x-2y+6z=2

Zum Beispiel, setzen wir $x=0$ und $y=1$ , so muss für $z$ gelten, dass

0-2+6z=2

und es folgt $z=\frac{2}{3}$ . Der Punkt $P(0\vert 1\vert \frac{2}{3})$ ist also in $E$ .

Exercise 1

F1

Eine Ebene $E$ enthält den Punkt $A(1\vert 4 \vert 1)$ und besitzt den Normalenvektor $\left(\begin{array}{r} 8\\ 4\\ 5 \end{array}\right)$ .

Bestimme die Normalengleichung von $E$ .
Finde einen weiteren Punkt $Q$ auf $E$ .

F2

Die Ebene $F$ enthält den Punkt $A(3\vert 0\vert 0)$ und hat Normalenvektor $\vec{n}=\left(\begin{array}{r} 6\\ 3\\ 2 \end{array}\right)$ .

Bestimme die Normalengleichung von $E$ .
Ist der Punkt $P(1\vert 2\vert 3)$ in $F$ ?
Ist der Punkt $Q(2\vert 4\vert 6)$ in $F$ ?
Wo schneidet $F$ die $y$ -Achse?

F3

Finde einen Normalenvektor und einen Punkt der Ebene $E$ mit der unten stehenden Normalengleichung:

$-2x+4y-z=1$
$3x+3y+3z=3$
$x+y+z=0$
$x+y=3$
$z=1$

F4

Eine Ebene enthält den Punkt $C(2\vert 4\vert -1)$ und hat den Normalenvektor $\vec{n}=\left(\begin{array}{r} 10\\ -5\\ 20 \end{array}\right)$ .

Bestimme die Normalengleichung von $E$ .
Entscheide, ob der Punkt $P(1\vert 3\vert -2)$ in $E$ liegt.

F5

Zwei Ebenen besitzen die Normalengleichungen

3x-2y-4z=6

und

-6x+4y+8z=5

Sind die Ebenen parallel?

Solution

Die Normalengleichung von $E$ ist $8x+4y+5z=d$ , wobei $d=8+16+5=29$ . Also haben wir
$8x+4y+5z=29$
Jeder Punkt $(x\vert y\vert z)$ , welcher diese Gleichung erfüllt, ist in $E$ .
Wähle, zum Beispiel, $x=0, y=0$ , und deshalb muss gelten $5z=29$ , also $z=5.8$ . Ein Punkt in $E$ ist somit $Q(0\vert 0\vert 5.8)$ .

A2

Die Normalform der Ebene ist $6x+3y+2z=d$ , wobei $d=3\cdot 6=18$ . Es ist also
$6x+3y+2z=18$
Füge die Koordinaten $P(1\vert 2\vert 3)$ in die Gleichung ein, und überprüfe, ob das Resultat $18$ ergibt:
$6\cdot 1+3\cdot 2+2\cdot 3=18$
Dies ist so, also $P \in F$ .
$Q(2\vert 4\vert 6)$ erfüllt nicht die Normalengleichung, also ist $Q \not\in F$ .
Es sei $S$ der Schnittpunkt. Da $S$ auf der $y$ -Achse ist, muss gelten $S(0\vert y\vert 0)$ . Da $S$ auf der Ebene $F$ liegt, muss $S$ die Normalengleichung von $F$ erfüllen:
$0 +3\cdot y+0 =18$
Daraus folgt $y=6$ . Somit schneidet $F$ die $y$ -Achse bei $y=\underline{6}$ .

A3

$-2x+4y-z=1$ , also $\vec n = \left(\begin{array}{c} -2\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ , zBsp. $P(1\vert 1\vert 1)\in E$ .
$3x+3y+3z=3$ , also $\vec n = \left(\begin{array}{c} 3\\ 3\\ 3\end{array}\right)$ , zBsp. $P(-1\vert 0\vert 2)\in E$ .
$1 x+1 y+1 z=0$ , also $\vec n = \left(\begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$ , zBsp. $P(0\vert 0\vert 0)\in E$ .
$1 x+1 y+0 z=3$ , also $\vec n = \left(\begin{array}{c} 1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ , zBsp. $P(2\vert 1\vert 100)\in E$ .
$0x+0y+1z=1$ , also $\vec n = \left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ , zBsp. $P(10.4\vert 1000\vert 1)\in E$ .

A4

Normalengleichung: $10x-5y+20x=-20$ .
Überprüfe, ob $P(1\vert 3\vert -2)$ die Normalengleichung erfüllt:
$10\cdot 1-5\cdot 3+20\cdot(-2)\neq -20$
Dies ist noch der Fall, also $P \not\in E$ .

A5

Zwei Ebenen sind parallel, falls ihre Normalenvektoren kollinear sind. Der Normalenvektor der ersten Ebene ist $\vec n = \left(\begin{array}{c} 3\\ -2\\ -4\end{array}\right)$ , der Normalenvektor von der zweiten Ebene ist $\vec m = \left(\begin{array}{c} -6\\ 4\\ 8\end{array}\right)$ . Diese Vektoren sind kollinear, die Ebenen sind also parallel.