Beweis der Winkelformel

Wir beweisen die Formel

wobei $\vec{a}=\left(\begin{array}{r} a_x\\ a_y\\ a_z \end{array}\right)$ und $\vec{b}=\left(\begin{array}{r} b_x\\ b_y\\ b_z \end{array}\right)$. Es ist einfach eine Anwendung des Kosinussatz.

• Finde den Vektor $\vec{c}$ der von der Spitze von $\vec{a}$ zum Startpunkt von $\vec{b}$ geht (siehe Skizze unten).

  Da $\vec{a}+\vec{c}=\vec{b}$ (Dreieck vervollständigen), folgt

  $$\vec{c}=\vec{b}-\vec{a}=\left(\begin{array}{r} b_x-a_x\\ b_y-a_y\\ b_z-a_z \end{array}\right)$$

• Betrachte nun das Dreieck, dass durch die Vektoren $\vec{a}$, $\vec{b}$, und $\vec{c}$ gegeben ist. Was sind die Seitenlängen?

  $$a=\vert\vec{a}\vert=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$$ $$b=\vert\vec{b}\vert=\sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}$$ $$c=\vert\vec{c}\vert=\sqrt{(b_x-a_x)^2+(b_y-a_y)^2+(b_z-a_z)^2}$$

  Der Kosinussatz besagt, dass für die Seiten eines Dreiecks mit Längen $a$, $b$, und $c$ das folgende gilt:

  $$c^2=b^2+a^2-2\cdot a\cdot b \cdot \cos(\alpha)$$

  wobei $\alpha$ der Winkel zwischen den Seiten $a$ und $b$ ist

  Angewandt auf unser Dreieck erhalten wir

  $$\vert\vec{c}\vert^2=\vert\vec{a}\vert^2+\vert\vec{b}\vert^2-2\cdot \vert\vec{a}\vert\cdot \vert\vec{b}\vert \cdot \cos(\alpha)$$

  Bringen wir $\cos(\alpha)$ auf die linke Seite, und alles andere auf die rechte Seite, so erhalten wir

  $$\cos(\alpha)=\frac{\vert\vec{a}\vert^2+\vert\vec{b}\vert^2-\vert\vec{c}\vert^2}{2\cdot \vert\vec{a}\vert \cdot \vert\vec{b}\vert}$$

• Setzen wir nun die Komponenten ein, und vereinfachen soweit wie möglich, so haben wir:

  $$\begin{array}{rll} \cos(\alpha) & =& \frac{a_x^2+a_y^2+a_z^2+b_x^2+b_y^2+b_z^2 - ((b_x-a_x)^2+(b_y-a_y)^2+(b_z-a_z)^2)}{2\cdot \sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\cdot \sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}} \\ & = & \frac{a_x^2+a_y^2+a_z^2+b_x^2+b_y^2+b_z^2 - b_x^2+2a_x b_x - a_x^2 - b_y^2+2a_y b_y - a_y^2 - b_z^2+2a_z b_z - a_z^2}{2\cdot \sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\cdot \sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}} \\ & = & \frac{2a_x b_x+2a_y b_y+2a_z b_z}{2\cdot \sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\cdot \sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}} \\ & = & \frac{a_x b_x+a_y b_y+a_z b_z}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\cdot \sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}} = \frac{\vec{a}\bullet \vec{b}}{\vert\vec{a}\vert\cdot \vert\vec{b}\vert} \end{array}$$

Und wir sind fertig!