Vektorprodukt

Die Suche nach dem Zwischenwinkel zweier Vektoren hat uns zum Skalarprodukt geführt.

Nun betrachten wir das folgende Problem: Zu gegebenen Vektoren $\vec{v}$ und $\vec{w}$ ist ein Vektor $\vec{u}$ gesucht, der sowohl auf $\vec{v}$ als auch auf $\vec{w}$ senkrecht steht. Eine spezielle Lösung des Problems ergibt

Definition 1: Vektorprodukt

Der Vektor

\vec{u} = \vec{v}\times\vec{w} = \begin{pmatrix}v_yw_z-v_zw_y\\v_zw_x-v_xw_z\\v_xw_y-v_yw_x\end{pmatrix}

heisst das Vektorprodukt von $\vec{v}$ und $\vec{w}$ .

Exercise 1: Kreuzprodukt steht senkrecht

Zeige, dass $\vec{u}$ tatsächlich auf $\vec{v}$ und $\vec{w}$ senkrecht steht.

Solution

Exemplarisch auf $\vec{v}$ :

\vec{v}\cdot\vec{u} = v_x(v_yw_z-v_zw_y)+v_y(v_zw_x-v_xw_z)+v_z(v_xw_y-v_yw_x) = 0+0+0 = 0.

Analog für $\vec{w}$ .

Das Vektorprodukt hat seinen Namen, weil sein Ergebnis, im Gegensatz zum Skalarprodukt, wieder ein Vektor ist. Per Definition klar ist

Theorem 1: Antikommutativität

Für das Vektorprodukt gilt Antikommutativität:

\vec{v}\times\vec{w} = -\vec{w}\times\vec{v}

Proof

Es ist quasi trivial per Defintion des Vektorprodukts, dass, wenn man die Vektoren kommutiert, sich die Vorzeichen "drehen".

Note 1: Dreifingerregel

Um zu eruieren, welche Orientierung das Vektorprodukt hat, verwendet man die Dreifinger-Regel. Man nimmt die rechte Hand: Der Zeigefinger zeige in Richtung des Vektors $\vec{v}$ und der Mittelfinger in Richtung $\vec{w}$ . Zeigefinger und Mittelfinger liegen dabei in einer Ebene mit der Handfläche. Der Daumen zeigt sodann in Richtung $\vec{v}\times\vec{w}$ .

Exercise 2: Vektorprodukt der Eineheitsvektoren

Bestimme für die Einheitsvektoren $\vec{e}_x$ , $\vec{e}_y$ und $\vec{e}_z$ die Vektorprodukte:

\vec{e}_x\times\vec{e}_y, \vec{e}_y\times\vec{e}_x, \vec{e}_x\times\vec{e}_z, \vec{e}_z\times\vec{e}_x, \vec{e}_y\times\vec{e}_z, \vec{e}_z\times\vec{e}_y

Solution

Wiederum rechnen wir exemplarisch $$ \vec{e}_x\times\vec{e}_y=\begin{pmatrix} 1\0\0 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 0\1\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\cdot0-0\cdot1\0\cdot0-1\cdot0\1\cdot1-0\cdot0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\0\1 \end{pmatrix}=\vec{e}_z

Exercise 3

Berechne mit Hilfe des Skalarproduktes den Winkel $\varphi$ zwischen den beiden Vektoren

\vec{v}=\begin{pmatrix}3\\4\\0\end{pmatrix}, \vec{w}=\begin{pmatrix}-1\\2\\2\end{pmatrix}.

Bestätige anschliessend

|\vec{u}|=|\vec{v}\times\vec{w}|=|v|\cdot |w|\cdot\sin(\varphi),

wobei $v$ und $w$ die kurze Schreibweise für den Betrag des entsprechenden Vektors ist.

Solution

Im ersten Fall sind $v=5$ und $w=3$ und $\vec{v}\times\vec{w} = (8|-6|10)$ und $\varphi = \arccos(\frac{5}{15}) \approx 71^\circ$ $\checkmark$ .

Im zweiten Fall sind $v=7$ und $w=10$ und $\vec{v}\times\vec{w} = (-30|12|16)$ und $\varphi = \arccos(\frac{-60}{70}) \approx 149^\circ$ $\checkmark$ .

Man kann zeigen:

Theorem 2

Falls $\varphi$ der Zwischenwinkel der beiden Vektoren $\vec{v}$ und $\vec{w}$ ist, gilt:

|\vec{v}\times\vec{w}| = |\vec{v|}\cdot |\vec{w|}\cdot \sin(\varphi)

Proof

Der Beweis wird geführt, indem man die quadrierten Beträge beider Seiten der Gleichung algebraisch vergleicht.

Note 2

Der vorhergehende Satz besagt, dass die Fläche des von $\vec{v}$ und $\vec{w}$ aufgespannten Parallelogramms gleich dem Betrag des Vektorprodukts von $\vec{v}$ mit $\vec{w}$ ist.

Exercise 4: Paralellogramm-Satz

Gegeben seien die Eckpunkte

A(2\sqrt{2} \mid 1 \mid -2\sqrt{2})\quad B(2\sqrt{2} \mid 4 \mid -2\sqrt{2})\quad C(0 \mid 1 \mid 0)

Bestimme die Fläche des Dreiecks.

Solution

Die Fläche des Dreiecks $ABC$ ist die Hälfte des Betrags des Kreuzprodukts der Vektoren, die das Dreieck aufspannen.

\text{Fläche} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|

Die Vektoren sind

\begin{align*} \vec{AB} &= B - A = \begin{pmatrix} 2\sqrt{2} \\ 4 \\ -2\sqrt{2} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2\sqrt{2} \\ 1 \\ -2\sqrt{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \\ \vec{AC} &= C - A = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2\sqrt{2} \\ 1 \\ -2\sqrt{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\sqrt{2} \\ 0 \\ 2\sqrt{2} \end{pmatrix} \end{align*}

und damit das Kreuzprodukt

\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -2\sqrt{2} \\ 0 \\ 2\sqrt{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 2\sqrt{2} - 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot (-2\sqrt{2}) - 0 \cdot 2\sqrt{2} \\ 0 \cdot 0 - 3 \cdot (-2\sqrt{2}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6\sqrt{2} \\ 0 \\ 6\sqrt{2} \end{pmatrix}

Seine Länge ist

|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \left| \begin{pmatrix} 6\sqrt{2} \\ 0 \\ 6\sqrt{2} \end{pmatrix} \right| = \sqrt{(6\sqrt{2})^2 + 0^2 + (6\sqrt{2})^2} = \sqrt{72 + 72} = \sqrt{144} = 12

und damit die Fläche

\text{Fläche}_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6.

Exercise 5: Fläche eines Dreiecks im 3d

Gegeben seien die Eckpunkte

A(1 \mid 0 \mid 1)\quad B(3 \mid 2 \mid 0)\quad C(2 \mid 3 \mid 4).

Bestimme die Fläche des Dreiecks.

Solution

Die Fläche des Dreiecks $ABC$ ist die Hälfte des Betrags des Kreuzprodukts der Vektoren, die das Dreieck aufspannen.

\text{Fläche} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|

Die Vektoren sind

\begin{align*} \vec{AB} &= B - A = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \\ \vec{AC} &= C - A = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} \end{align*}

und damit das Kreuzprodukt

\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 3 - (-1) \cdot 3 \\ (-1) \cdot 1 - 2 \cdot 3 \\ 2 \cdot 3 - 2 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6+3 \\ -1-6 \\ 6-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\ -7 \\ 4 \end{pmatrix}

Seine Länge ist

|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \left| \begin{pmatrix} 9 \\ -7 \\ 4 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{9^2 + (-7)^2 + 4^2} = \sqrt{81 + 49 + 16} = \sqrt{146}

und damit die Fläche

\text{Fläche}_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{146} \approx 6.04