Geraden

Die Parameterdarstellung

Eine Gerade $g$ ist durch zwei Punkte oder durch einen Punkt $P(p_x \mid p_y \mid p_z)$ und einen Richtungsvektor $\vec{r}$ bestimmt.

Für einen beliebigen Punkt $Q$ auf der Geraden ist $\vec{PQ}$ kollinear zu $\vec{r}$ , d.h.

\vec{PQ} = \vec{r}

Somit lässt sich jeder Punkt auf der Geraden $g$ als Ortsvektor

\vec{g} = \vec{P}+t\vec{r}

mit einem bestimmten $t$ darstellen. Durchläuft $t$ alle reellen Werte, so wird damit die ganze Gerade $g$ erzeugt.

Definition 1: Parameterdarstellung

Man nennt

g_t:=\left\{\vec{P}+t\vec{r}\; \mid \;t\in\mathbb{R}\right\}

Parameterdarstellung der Geraden $g$ .

$\vec{P}$ heisst Stützvektor und $\vec{r}$ Richtungsvektor von $g$ .

Obwohl es sich bei einer Geraden um eine Punktmenge handelt, lasse ich oft die Mengenschreibweise fallen und verwende kürzere Notationen; eigentlich zu unrecht.

Exercise 1: eine Parameterdarstellung

Wieso spricht von einer und nicht von der Parameterdarstellung von $g$ ?

Solution

Weil es unendlich viele verschiedene Darstllungsmöglichkeiten gibt, sei es bei der Wahl des Stützvektors oder des Richtungsvektors.

Note 1

Oft lässt man den Zusatz $(t\in\mathbb{R})$ weg, wenn der Parameter $t$ ganz $\mathbb{R}$ durchlaufen soll.

Exercise 2

Markiere in der Abbildung den Punkt auf $g_t$ für $t=0,1,\frac{1}{2},-0.5,\pi$ .

Solution

Exercise 3: Strecke

Beschreibe geometrisch die Menge

g_t: \vec{P}+t\vec{r}\quad (t\in[0,1])

Solution

Es ist die Strecke zwischen $P$ und $Q$ .

Exercise 4: zwei Parameterdarstellungen

Gib zwei verschiedene Parameterdarstellungen der Geraden durch die Punkte $P(5 \mid 2 \mid 3)$ und $Q(4 \mid 5 \mid 6)$ .

Solution

Ich nehme die Ecke unten rechts als Stützvektor und als Richtungsvektor die durch die Gerade gegebene Diagonale des Würfels:

g_t:\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} -1\\1\\1 \end{pmatrix}.

Exercise 5: Parameterdarstellung

Ermittle eine Parameterdarstellung der Geraden $g$ .

Solution

Ich nehme die Ecke unten rechts als Stützvektor und als Richtungsvektor die durch die Gerade gegebene Diagonale des Würfels:

g_t:\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} -1\\1\\1 \end{pmatrix}.

Exercise 6: Gegenseitige Lage

Ermittle die gegenseitige Lage der Geraden

g_t:\begin{pmatrix}6\\1\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\0\\5\end{pmatrix}\;\text{und}\; h_t:\begin{pmatrix}2\\1\\9\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\0\\-3\end{pmatrix}

g_t:\begin{pmatrix}9\\2\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}3\\0\\-1\end{pmatrix}\;\text{und}\; h_t:\begin{pmatrix}3\\2\\5\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-6\\0\\2\end{pmatrix}

g_t:\begin{pmatrix}-5\\10\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}\,\text{und}\, h_t:\begin{pmatrix}2\\2\\7\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}3\\-2\\5\end{pmatrix}

und gegebenenfalls ihren Schnittpunkt.

Solution

a) Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear. Schauen wir, ob die Geraden sich schneiden:

\begin{pmatrix}6\\1\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\0\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\9\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}2\\0\\-3\end{pmatrix}

Die zweite Komponente liefert keine Information.

\begin{align*} 6+4t &= 2+2s\\ 3+5t &= 9-3s\\ \end{align*}

\begin{align*} 2+2t &= s\\ 3+5t &= 9-3(2+2t)\\ \end{align*}

woraus $t=0$ folgt und damit $s=2$ . Der Schnittpunkt liegt also bei $S(6 \mid 1 \mid 3)$ .

b) Wegen $-2\cdot\begin{pmatrix} 3\\0\\-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -6\\0\\2 \end{pmatrix}$ sind $g_t$ und $h_t$ parallel. Zudem sieht man, dass der Punkt $P_h(3 \mid 2 \mid 5)$ auf der Geraden $g_t$ liegt; nämlich $g_{-2}$ . Also sind die Geraden identisch.

c) $g_t$ und $h_t$ sind nicht parallel, wie man anhand der Richtungsvektoren sieht. Wir suchen einen Schnittpunkt:

\begin{align*} \begin{pmatrix}-5\\10\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}2\\2\\7\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}3\\-2\\5\end{pmatrix} \end{align*}

aus der dritten Komponenten kriegen wir $t=7+5s$ , also folglich für die erste Komponente

\begin{align*} 10-3(7+5s) &= 2-2s\\ -13 &= 13s\\ s &= -1 \end{align*}

und damit $t=2$ . Als Schnittpunkt ergibt sich so $S(-1 \mid 4 \mid 2)$ .

Gegenseitige Lage kommentiert

Exercise 7: Strecke der Länge 6

Auf der Geraden

g_t:\begin{pmatrix}2\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}

soll vom Punkt $A(2 \mid 3 \mid 0)$ aus in beiden Richtungen eine Strecke der Länge $6$ abgetragen werden. Wie lauten die Koordinaten der entsprechenden Endpunkte?

Solution

Der Richtungsvektor hat die Länge $3$ . Daher finden wir die beiden gesuchten Punkte via:

g_2=\begin{pmatrix}4\\7\\-4\end{pmatrix}\quad\text{ und }\quad g_{-2}=\begin{pmatrix}0\\-1\\4\end{pmatrix}

Exercise 8: Geometrie

Was stellt die Vektorgleichung

a) $g_t=\vec{P}+t^2\vec{r},\quad t\in\mathbb{R}$

b) $g_t=\vec{P}+\frac{1}{t}\vec{r},\quad t\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$

c) $g_t=s\vec{r}+(1-s)\vec{u},\quad s\in[0,1]$

dar?

Solution

a) eine Viertelebene, da $t^2,s^2\in\mathbb{R}_0^+$

b) Halbebene, $\vec{b}$ geht in beide Richtungen.

c) Strecke von der Spitze von $\vec{u}$ zur Spitze von $\vec{r}$ .

Exercise 9: Punkt sichtbar?

Die Eckpunkte eines Würfels haben die Koordinaten

\begin{align*} (0 \mid 0 \mid 0), (3 \mid 0 \mid 0), (3 \mid 3 \mid 0), (0 \mid 3 \mid 0),\\ (0 \mid 0 \mid 3), (3 \mid 0 \mid 3), (3 \mid 3 \mid 3), (0 \mid 3 \mid 3). \end{align*}

Kann man vom Punkt $P=(4 \mid 2 \mid 2)$ aus den Punkt $Q=(1 \mid 4 \mid 5)$ sehen?

Solution

Wir prüfen, ob die Gerade $\vec{P}+t\cdot\vec{PQ}$ die Seitenflächen des Würfels schneidet.

Suchen wir beispielsweise den Durchstosspunkt in der Frontfläche, so muss für die Koordinaten sicher $x=3$ und $0 \leq y,z \leq 3$ gelten. Wir erhalten aus der Geraden

\begin{pmatrix} 4\\2\\2 \end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} -3\\2\\3 \end{pmatrix}

die Bedingung $4-3t=3\Leftrightarrow t=\frac{1}{3}$ und $S(3 \mid 2\frac{2}{3} \mid 3)$ . Das bedeutet, dass die Kante oben just die Sicht auf $Q$ versperrt.

Exercise 10: Kürzester Abstand

Welcher Punkt $Q$ der Geraden

g_t=t\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}

hat den kürzesten Abstand vom Punkt $R(3 \mid 0 \mid 0)$ ? Wie gross ist dieser Abstand?

Solution

Ein Punkt $P$ auf $g_t$ hat die Koordinaten $(t \mid t \mid t)$ und damit ein Vektor von $R$ nach $g_t$

\begin{pmatrix} t-3\\t\\t \end{pmatrix}.

Die Länge ist $\sqrt{(t-3)^2+t^2+t^2} = \sqrt{3t^2-6t+9}$ und wir suchen das Minimum dieser Abstandsfunktion $d(t)$ . Falls der Radikand grösser oder gleich $1$ ist können wir das Minimum des Radikanden bestimmen. Dies ist eine nach oben offene Parabel, deren Minimum der Scheitelpunkt ist: $t_s = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2\cdot 3} = 1$ . Also hat der Punkt $M(1 \mid 1 \mid 1)$ den kleinsten Abstand von $R$ und dieser Abstand beträgt $\sqrt{3\cdot1^2-6\cdot1+9} = \sqrt{6}$ .

Exercise 11: Geradlinig gleichförmig

Ein Körper bewegt sich geradlinig und gleichförmig und ist für $t = 1$ in $P_1(5 \mid -4 \mid 7)$ und für $t = 3$ in $P_3(1 \mid 2 \mid 4)$ . Ermittle den konstanten Geschwindigkeitsvektor $\vec{v}$ , den Punkt, wo der Körper zur Zeit $t = 0$ war, und den Punkt, wo er sich zu einer beliebigen Zeit $t$ befindet. Wann und wo erreicht der Körper die $xz$ -Ebene?

Solution

Der Körper bewegt sich offensichtlich auf der Geraden

\begin{pmatrix} 5\\-4\\7 \end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} -4\\6\\-3 \end{pmatrix}.

Den Richtungsvektor halbiere ich, $(-2 \mid 3 \mid -1.5)$ , da ich so grad den Geschwindigkeitsvektor pro Sekunde repräsentiere. Es folgt unmittelbar, dass der Körper zum Zeitpunkt $t=0$ an der Stelle $P_0(3 \mid -1 \mid 5.5)$ startet. Daher ist er zum Zeitpunkt $t$ an der Stelle

\begin{pmatrix} 3\\-1\\5.5 \end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} -2\\3\\-1.5 \end{pmatrix}.