Weitere Aufgaben

Berechne den Winkel zwischen dem Vektor $\vec{a}=\left(\begin{array}{r} 4 \\ -2\\ 1 \end{array}\right)$ un den drei Koordinatenachsen.

Finde $z$ so, dass der Winkel zwischen $\vec{a}=\left(\begin{array}{r} 1 \\ 0\\ z \end{array}\right)$ und $\vec{b}=\left(\begin{array}{r} 0 \\ 1\\ z \end{array}\right)$ gerade $60^\circ$ ist.

Finde alle möglichen Werte von $u$ so, dass $\vec{a}=\left(\begin{array}{r} 2 \\ -1\\ 7 \end{array}\right)$ und $\vec{b}=\left(\begin{array}{r} 5 \\ 3\\ u \end{array}\right)$ orthogonal sind.

Gegeben sind die Punkte $A(4\vert 2\vert 8)$ und $B(6\vert 5\vert -3)$. Finde einen Punkt $P$ auf der $y$-Achse so, dass die Vektoren $\overrightarrow{PA}$ and $\overrightarrow{PB}$ orthogonal sind.

Dreieck $ABC$ hat die Eckpunkte $A(2\vert -3 \vert 4)$, $B(7\vert 9 \vert 6)$ und $C$, wobei $C$ auf der Geraden ist, welche durch die Punkte $P(-1\vert 1\vert 4)$ und $Q(-1\vert 1 \vert 5)$ geht. Finde $C$ so, dass

1. $ABC$ einen rechten Winkel bei $C$ bildet.
2. $ABC$ ein gleichschenkliges Dreieck bildet. Bestimme jeweils die Dreiecksfläche.

Finde heraus, ob der Punkt $P(1 \vert -1 \vert3)$ auf der Geraden $g$ liegt.

1. $g$ geht durch die Punkte $A(-1\vert 1\vert 2)$ und $B(5\vert 7\vert 5)$.
2. $g$ geht durch den Punkt $A(2\vert -2\vert 2)$ und hat den Richtungsvektor $\vec{v}=\left(\begin{array}{r} 3 \\ -3\\ 3 \end{array}\right)$.
3. $g$ geht durch den Punkt $A(1\vert 0 \vert 1)$ und ist parallel zur Geraden $h$, wobei $h$ durch die Punkte $C(1\vert 1\vert 1)$ und $D(1\vert -1\vert 5)$ geht.

Bestimme den Schnittpunkt und den Schnittwinkel der Geraden $l_1$ und $l_2$, wobei $l_1$ durch die Punkte $A_1(-3\vert 5\vert -2)$ und $B_1(0\vert 0\vert 7)$, und $l_2$ durch die Punkte $A_2(-16\vert -6\vert 9)$ und $B_2(-8\vert -3\vert 8)$.

Die Gerade $g$ geht durch die Punkte $A(5\vert 9\vert z)$ und $B(2\vert 6\vert -8)$. Finde alle Werte für $z$ so, dass $g$ die x-Achse schneidet.

Spiegle den Punkt $S(5\vert 2\vert -1)$ an der Gerade $g$, wobei $g$ durch die Punkte $A(2\vert -3\vert 6)$ und $B(6\vert 1\vert 8)$ geht.

Ist der Punkt $P(2\vert 2\vert 1)$ auf der Ebene $E$?

1. $E$ enthält die Punkte $A(3\vert 1\vert 0)$, $B(1\vert -4\vert -2)$, und $C(10\vert 1\vert -3)$.
2. $E$ enthält den Punkt $A(0\vert 4\vert 3)$ und ist orthogonal zur Geraden $g$, welche durch die Punkte $U(-1\vert 6\vert -5)$ und $V(5\vert -2\vert 7)$ geht.

Bestimme die relative Lage der Geraden $g$ und Ebene $E$, wobei $g$ durch die Punkte $A(2\vert 1\vert 0)$ und $B(-2\vert -2\vert -1)$ geht, und $E$ die Normalengleichung

besitzt.

Die Gerade $g$ geht durch die Punkte $A(0\vert 0\vert 5)$ und $B(1\vert 1\vert 3)$. Die Ebene $E$ enthält die Punkte $U(6\vert 0\vert 0), V(0\vert 2\vert 4)$ und $W(1\vert 1\vert 3)$. Falls er existiert, bestimme den Schnittpunkt zwischen $g$ und $E$, und auch den Schnittwinkel (der kleinste Winkel zwischen $g$ und $E$).

Die Ebene $E$ enthält den Punkt $A(0\vert 3\vert 0)$ und besitzt den Normalenvektor $\vec{n}=\left(\begin{array}{r} 2 \\ 3\\ -8 \end{array}\right)$. Finde die kürzeste Distanz zwischen dem Koordinatennullpunkt und $E$.

Die Gerade $g$ besitzt die Geradengleichung

Finde die kürzeste Distanz zwischen $g$ und dem Punkt $P(1\vert -1\vert -1)$.

Die Ebene $E$ enthält den Punkt $A(0\vert 5\vert 0)$ und besitzt den Normalenvektor $\vec{n}=\left(\begin{array}{r} 4 \\ -3\\ 0 \end{array}\right)$. Bestimme die kürzeste Distanz zwischen dem Punkt $P(4\vert 22\vert 3)$ und $E$.

Die Ebene $E$ geht durch die Punkte $A(2\vert 1\vert 1), B(-1\vert 3\vert 7)$ und $C(1\vert 2\vert 2)$. Bestimme die Spurpunkte von $E$, daher, die Schnittpunkte der Ebene mit den drei Koordinatenachsen. Benutze diese Punkte, um die Ebene zu skizzieren.

Ebene $E$ geht durch den Punkt $A(5\vert 0\vert 5)$ und besitzt den Normalenvektor $\vec{n}=\left(\begin{array}{r} 8 \\ 4\\ 1 \end{array}\right)$. Punkt $P(-3\vert -3\vert 0)$ wird an $E$ reflektiert (so dass er auf der anderen Seite der Ebene landet). Bestimme die Koordinaten des reflektierten Punkts $P^\prime$.

Eine schräge Pyramide besitzt eine dreieckige Basis mit den Eckpunkten $A(3\vert 0\vert 0)$, $B(0\vert 6\vert 0)$ and $C(0\vert 0\vert 9)$. Die Spitze ist bei $S(13\vert 8\vert 7)$. Bestimme das Volumen der Pyramide.

Eine rechtwinklige Pyramide der Höhe $h=9$ besitzt eine quadratische Basis mit den Eckpunkten $A(3\vert 5\vert 5)$, $B(1\vert 1\vert 1)$, $C(5\vert 3\vert -3)$ und $D$. Bestimme die Koordinaten der Spitze $S$.

Ein Flugzeuglotse sitzt im Koordinatennullpunkt. Zur Zeit $t=0\, min$ beobachtet er ein Flugzeug $P_1$ am Punkt $A(2\vert 1\vert 1)$ (in $km$). Es fliegt geradlinig mit konstantem Geschwindigkeitsvektor $\vec{v}=\left(\begin{array}{r} 2 \\ 2\\ 1 \end{array}\right)$ (in $km/min$).

1. Bestimme die Position von $P_1$ nach drei Minuten.

2. Wann ist $P_1$ am nächsten beim Fluglotsen?

3. Der Beobachtungsraum des Fluglotsen erstreckt sich $50 km$ in alle Richtungen. Wann wird $P_1$ diesen Raum verlassen?

4. Zur Zeit $t=0 min$, als $P_1$ bei $A$ ist, ist eine zweites Flugzeug $P_2$ bei $B(1\vert 2\vert 5)$ (in $km$). Drei Minuten später ist es bei $C(4\vert 5\vert 2)$ zu finden (in $km$). Kollidieren die beiden Flugzeuge? Falls ja, wann?

Zeige, dass die beiden Geraden $g$ und $h$ mit den Gleichungen

und

parallel sind. Bestimme dann die kürzeste Distanz zwischen den beiden Geraden.

Zeige, dass die beiden Ebenen $E$ und $F$ mit den Normalengleichungen

und

parallel sind. Bestimme dann die kürzeste Distanz zwischen den beiden Ebenen.