Wahrscheinlichkeit von Ergebnissen

Betrachten wir das Zufallsexperiment "Werfen einer Münze". Wenn wir das Experiment durchführen, wird das Ergebnis $K$ ("Kopf") mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit eintreten. Wir möchten diese Wahrscheinlichkeit mit einer Zahl zwischen $0$ und $1$ quantifizieren. Diese Zahl sollte umso grösser sein, je "wahrscheinlicher" ein Ergebnis eintritt. Wir nennen diese Zahl die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses und schreiben dafür

p(K)

Es gibt eine einfache Methode, so eine Zahl zu definieren, und zwar mit der relativen Häufigkeit.

Definition 1

Gegeben sei ein Zufallsexperiment, wobei eines der Ergebnisse $E$ ist. Wir wiederholen das Zufallsexperiment unter genau denselben Bedingungen $N$ mal, wobei $N$ eine extrem grosse Zahl sein sollte. Dann zählen wir, wie oft das Ergebnis $E$ aufgetreten ist (wir bezeichnen diese Zahl mit $n$ ). Die Wahrscheinlichkeit von $E$ definieren wir dann als

p(E)=\frac{n}{N}

Die rechte Seite wird auch relative Häufigkeit des Auftretens von $E$ genannt, wir nennen sie manchmal auch "langzeit relative Häufigkeit", um zu betonen, dass die Anzahl Wiederholungen gross sein muss.

In der Tat liegt die so definierte Wahrscheinlichkeit $0$ und $1$ , und je grösser die relative Häufigkeit ist (also die Wahrcheinlichkeit), desto häufiger ist das Ergebnis $K$ aufgetreten. Wenn $E$ zum Beispiel jedes Mal eintritt ( $n=N$ ), ist die relative Häufigkeit $p(E)=n/N=N/N=1$ . Wenn das Ergebnis $E$ nie eintritt ( $n=0$ ), ist die relative Häufigkeit $p(E)=0/N=0$ .

Note 1

Beachte, wir können also auch die Definition der Wahrscheinlichkeit mit Hilfe von Prozentsätzen umformulieren:Wiederholt man das Experiment $N$ mal, wobei $N$ eine grosse Zahl ist, dann ist $p(o)$ der Prozentsatz der Experimente, in denen das Ergebnis $o$ eingetreten ist.

Note 2

Wir sagen oben, dass $N$ gross sein muss. Aber wie gross, und hängt die relative Häufigkeit $\frac{n}{N}$ und somit $p(E)$ nicht vom gewählten $N$ ab? Ja, das ist in der Tat der Fall. Aber nicht nur das, die relative Häufigkeit wird sich auch ändern, wenn wir $N$ konstant lassen.

Zum Beispiel, würden wir das Experiment $N=10000$ durchführen, so könnten zum Beispiel $\frac{n}{N}=0.23$ sein (dies ist eine Phantasiezahl). Würden wir das Experiment nochmals $N=10000$ durchführen, so ist es gut möglich, dass wir nun $\frac{n}{N}=0.27$ erhalten (ebenfalls Phantasiezahl).

Aber je grösser wir $N$ wählen, desto kleiner werden diese Änderungen. Wenn wir also $N$ extrem gross wählen, oder genauer, gegen unendlich streben lassen, so werden diese Änderung kleiner und kleiner, bis sie ignoriert werden können.

Betrachten wir den Einfluss von $N$ anhand einer Aufgabe.

Exercise 1

Wir betrachten das Zufallsexperiment "einmal eine Münze werfen". Wiederhole das Experiment $N=20$ mal, und bestimme die relative Häufigkeit von Kopf ( $K$ =.

Bestimme dann erneut die relative Häufigkeit von $K$ , wiederum für $N=20$ . Sind die beiden relativen Häufigkeiten gleich?

Aus der Bemerkung oben geht hervor, dass die Schwankung der relativen Häufigkeit $n/N$ verringert werden kann, wenn wir $N$ grösser und grösser wählen? Die nächste Aufgabe soll diese demonstrieren.

Exercise 2

Wir betrachten das Zufallsexperiment "einmal eine Münze werfen". Wiederhole das Experiment $N=10$ Mal und zähle, wie oft Kopf ( $K$ ) auftritt. Bestimme dann die relative Häufigkeit von Kopf, $n/N$ .

Wiederhole das Experiment weitere $10$ Mal, so dass wir insgesamt $N=20$ Wiederholungen haben. Bestimme die gesamte Anzahl der Vorkommen von $K$ , und berechne wieder die relative Häufigkeit $n/N$ .

Fahre nun mit dieser Prozedur fort, indem immer wieder $10$ Mal wirfst, und fülle die unten stehende Tabelle aus:

\begin{array}{|c|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|}\hline N & 10 & 20 & 30 & 40 & 50 & 60 & 70 & 80 & 90 & 100 \\\hline n & & & & & & & & & & \\\hline \frac{n}{N} & & & & & & & & & & \\\hline \end{array}

Skizziere auch den Graphen der berechneten relativen Häufigkeiten $n/N$ als Funktion von $N$ ( $N$ entlang der $x$ -Achse, $n/N$ entlang der $y$ -Achse).

Beachte, wie sich die relative Häufigkeit $n/N$ mit höheren Werten der Wiederholungen $N$ stabilisiert und sich einem bestimmten Wert nähert. Wir definieren diesen Wert als die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses $K$ . Wenn wir von der Wahrscheinlichkiet von $K$ reden, so meinen wir diese stabilisierte relative Häufigkeit.

Exercise 3

Für einen Würfel gilt $p(6)=\frac{1}{6}$ . Sie werfen den Würfel $12 000$ Mal. Mit wie vielen $6$ kann man rechnen? Ist diese Zahl genau?

Solution

Da $p(6)\approx\frac{n}{12000}=\frac{1}{6}$ ist, folgt $n\approx\frac{12000}{6}=2000$ . Dies ist nur eine Schätzung und wird schwanken. Aber da $N$ ziemlich gross ist, werden die Schwankungen von $n$ gering sein.

Hier ist unser erstes Theorem über Wahrscheinlichkeiten. Der Beweis wird als Übung gegeben.

Theorem 1

Die Summe aller Ergebniswahrscheinlichkeiten eines Zufallsexperiments ist gleich $1$ . Das heisst, wenn $o_1,o_2,...,o_m$ die möglichen Ergebnisse des Experiments sind, dann gilt

p(o_1)+p(o_2)+...+p(o_m)=1

Exercise 4

Beweise obige Aussage mit Hilfe der Definition der Wahrscheinlichkeit.

Solution

Wiederhole das Experiment $N$ mal, wobei $N$ eine sehr grosse Zahl ist. Nach der Definition der Wahrscheinlichkeit ist $p(o_i)$ der Prozentsatz, mit dem das Ergebnis $o_i$ eintritt. Addiert man die Prozentsätze für jeden Ausgang $o_i$ , so wird $100\%$ erhalten, da es nicht möglich ist, dass ein Experiment kein Ergebnis oder mehr als ein Ergebnis liefert.