Ergebnisse und Ereignisse

Wir führen noch ein paar Notationen ein. Zuerst kurz zu Mengen,die Helfen, Zufallsexperimenten etwas genauer zu charakterisieren.

Definition 1

Ein Kollektion von Objekten nennen wir Menge, und umranden sie mit geschweiften Klammern. Jedes Objekt in der Menge (oder Teilmenge) wird als Element bezeichnet. Mengen werden meistens mit Grossbuchstaben bezeichnent, Elemente mit Kleinbuchstaben. Zum Beispiel, die Menge der Zahlen $1,2,3,4$ schreiben wir als

M={1,2,3,4}

Eine Teilmenge einer Mengen ist eine Auswahl der Objekte, also zum Beispiel

T=\{2,3,4\}

Teilmengen sind also ebenfalls Mengen. Zum Beispiel sind $1,2,3$ und $4$ Elemente von der Menge $M$ .

Wir brauchen im Verlaufe der weiteren Kapitel. Nun zurück zum Zufallsexperiment.

Definition 2

Gegeben sei ein Zufallsexperiment. Die Menge $S$ aller möglichen Ergebnisse (oder Ausgänge) wird als Stichprobenraum des Experiments bezeichnet. Wenn also das Experiment $m$ mögliche Ergebnisse hat, die mit $o_1, ..., o_m$ bezeichnet werden, dann ist der Stichprobenraum

S=\{ o_1, ..., o_m\}

Jede Teilmenge des Stichprobenraums wird als Ereignis bezeichnet. Ein Ereigniss ist also eine Kollektion von Ergebnissen. Wir führen nun das Experiment durch. Wir sagen, dass das Ereignis E eingetreten ist, falls das eingetretene Ergebnis in $E$ enthalten ist.

Example 1

Eine Münze wird geworfen. Der Stichprobenraum ist
$S=\{K,Z\}$
$K$ steht für Kopf, $Z$ für Zahl.
Ein Würfel wird geworfen. Der Stichprobenraum ist
$S=\{1,2,3,4,5,6\}$
- Dass das Ereignis $E=\{2,4,6\}$ eintritt, kann auch als "eine gerade Zahl tritt ein" ausgedrückt werden.
- Das Gegenereignis ist $E^\prime=\{1,3,5\}$ , d.h. das Ereignis "eine ungerade Zahl tritt ein".
- Dass "eine Zahl kleiner als $3$ beobachtet wurde" kann auch ausgedrückt werden als "das Ereignis $E=\{1,2\}$ ist eingetreten".
Eine Münze wird zweimal geworfen. Der Stichprobenraum ist
$S=\{KK,KZ, ZK, ZZ\}$
wobei wir mit $KK$ meinen, dass $K$ beim ersten Wurf und $K$ beim zweiten Wurf aufgetreten ist. Und so weiter.
- Das Ereignis "genau ein Kopf ist aufgetreten" kann auch als "das Ereignis $E=\{KZ, ZK\}$ ist eingetreten" ausgedrückt werden.
- Das Ereignis "kein Kopf ist aufgetreten" kann auch als "das Ereignis $E=\{ZZ\}$ ist aufgetreten" ausgedrückt werden.
- Das entgegengesetzte Ereignis ist $E^\prime = \{KZ, ZK, KK\}$ , d.h. "mindestens ein Kopf tritt auf".
Zufällige Auswahl einer Person aus einer Gruppe von $m$ Personen. Der Stichprobenraum besteht aus allen möglichen Personen der Gruppe:
$S=\{p_1, p_2, ... , p_m\}$
Ein Ereignis könnte $E$ ="Person hat grüne Augen" sein. Dieses Ereignis $E$ enthält dann alle Personen mit grünen Augen.

Einige spezielle Ereignisse

Das Gegenereignis eines Ereignisses $E$ ist das Ereignis $E^\prime$ . Der Name macht Sinn. Falls $E$ eintritt, kann das Gegenteil $E^\prime$ nicht eintreten und umgekehrt, falls $E$ nicht eintritt, muss das Gegenteil $E^\prime$ eintreten.
Das sichere Ereignis ist das Ereignis $E=S$ . Diese Bezeichnung ist sinnvoll, da dieses Ereignis immer eintritt.
Das unmögliche Ereignis ist das Ereignis $E=\{ \}$ . Auch diese Bezeichnung ist sinnvoll, da dieses Ereignis nie eintreten wird (da das Experiment führt immer zu einem Ergebnis).
Die atomaren Ereignisse sind die Ereignisse, die genau ein Ergebnis enthalten, also $\{o_1\}, \{o_2\}, ..., \{o_m\}$ . Oft werden wir nicht zwischen Ergebnissen und atomaren Ereignissen unterscheiden und einfach $o_1, ..., o_m$ schreiben.

Exercise 1

Bestimmen den Stichprobenraum und die Anzahl der Ergebnisse für die folgenden Zufallsexperimente:

Dreimaliges Werfen einer Münze.
Zweimal einen Würfel werfen.

Solution

$S=\{KKK, KKZ, KZK, ZKK, KZZ, ZKZ, ZZK, ZZZ\}, \vert S \vert = 8$ .
$S=\{11,12,13,14,15,16, ..., 61, 62, 63, 64, 65, 66\}, \vert S \vert = 36$ . Beachte, dass mit "15" eine "1" im ersten Wurf und eine "5" im zweiten Wurf gemeint ist, und so weiter.

Exercise 2

Drücke jedes Ereignis als eine Auswahl von Ergebnissen aus.

Es wird zweimal gewürfelt.

$E$ ="die Summe der beiden beobachteten Zahlen ist gerade"

$F$ ="mindestens eine 6 ist aufgetreten"

$G$ ="keine 6 ist aufgetreten"

$H$ ="die Summe liegt zwischen $6$ und $8$ (einschliesslich $6$ und $8$ )"
Sie wählen zufällig eine Zahl zwischen $1$ und $10$ aus einem Korb

$I$ ="die ausgewählte Zahl ist eine Primzahl"

$J$ ="die gewählte Zahl ist durch $3$ teilbar und grösser als $5$ "

Solution

$E=\{11,13,15,22,24,26,31,33,35,42,44,46,51,53,55,62,64,66\}$ $F=\{16,26,36,46,56,61,62,63,64,65,66\}$ $G=F^\prime$ $H=\{15,16,24,25,26,33,34,35,42,43,44,51,52,53,61,62\}$ $I=\{2,3,5,7\}$ $J=\{6,9\}$