Wahrscheinlichkeit von Ereignissen

Wir wissen nun, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses die langzeit relative Häufigkeit ist, mit der dieses Ergebnis auftritt, wenn das Experiment viele Male wiederholt wird. Wie definieren wir nun die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, daher wie definieren wir die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis EE eintritt? Genau gleich.

Definition 1

Gegeben sei ein Zufallsexperiment, und EE sei ein Ereignis. Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E (daher die Wahrscheinlichkeit, dass EE eintritt), geschrieben p(E)p(E), ist definiert als

p(E)=nN(N large)p(E)=\frac{n}{N}\quad (N \text{ large})

wobei NN die Anzahl der Wiederholungen des Experiments unter denselben Bedingungen ist, und nn die Anzahl der Experiment, in denen Ereignis EE aufgetreten ist. Oder anders ausgedrückt: p(E)p(E) ist die relative Häufigkeit des Auftretens von EE für viele Repetitionen des Experiments.

Es liegt auf der Hand, dass ein enger Zusammenhang zwischen Ergebniswahrscheinlichkeiten und Ereigniswahrscheinlichkeiten bestehen muss. Warum? Weil ein Ereingis dann eintritt, wenn eines der Ergenisse, die im Ereignis enthalten sind, eintritt. Nimm als Beispiel den Wurf einen Würfels, und das Ereignis EE="eine gerade Zahl wird gewürfelt", daher E={2,4,6}E=\{2,4,6\}.

Das Ereingis EE tritt ein, wenn die Zahl 22, 44 oder 66 gewürfelt wird. Wird also der Würfel (das Experiment) ganz viele Male wiederholt, und die 22, die 44 und die 66 zum Beispiel mit je 16%16\% auftreten, so wird das Eregnis "einge gerade Zahl wird gewürfelt" mit der Häufigkeit 16%+16%+16%=48%16\%+16\%+16\%=48\% auftreten. Wir sehen also, dass wir die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse im Ereingis zusammengezählt werden müssen, um die Wahrscheinlichkeit der Ereignisses zu bekommen. Dies ist nochmals genauer formuliert:

Theorem 1

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses EE ist die Summe seiner Ergebniswahrscheinlichkeiten. Das heisst, wenn das Ereignis EE die rr Ausgänge o1,...,oro_1,...,o_r enthält,

E={o1,...,or}E=\{o_1,...,o_r\}

dann muss gelten

p(E)=p(o1)+...+p(or)p(E) = p(o_1)+...+p(o_r)
Proof

Wir wiederholen das Experiment NN mal, wobei NN eine grosse Zahl ist. p(oi)p(o_i) ist also der Prozentsatz, mit dem das Ergebnis oio_i eintritt. Das Ereignis EE tritt jedes Mal ein, wenn einer der Ausgänge o1,...,oro_1, ..., o_r eintritt, und dieser Prozentsatz ist p(o1)+...+p(or)p(o_1)+...+p(o_r). Somit ist p(E)=p(o1)+...+p(or)p(E)=p(o_1)+...+p(o_r).

Exercise 1

Ein Würfel hat unterschiedlich gewichtete Flächen, so dass einige Zahlen häufiger vorkommen als andere:

p(1)=0.25p(2)=0.27p(3)=0.12p(4)=0.12p(5)=0.12p(6)=0.12\begin{array}{lll} p(1)&=&0.25\\ p(2)&=&0.27\\ p(3)&=&0.12\\ p(4)&=&0.12\\ p(5)&=&0.12\\ p(6)&=&0.12\\ \end{array}

Bestimme die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses

  1. E=E="eine ungerade Zahl ist eingetreten".

  2. F=F="eine Zahl grösser als 4 ist eingetreten."

Solution

Wegen E={1,3,5}E=\{1,3,5\} und F={5,6}F=\{5,6\} muss gelten

  1. p(E)=p(1)+p(3)+p(5)=0.25+0.12+0.12=0.49‾p(E)=p(1)+p(3)+p(5)=0.25+0.12+0.12=\underline{0.49}
  2. p(F)=p(5)+p(6)=0.12+0.12=0.24‾p(F)=p(5)+p(6)=0.12+0.12=\underline{0.24}