Die Exponentialfunktion

Die Exponentialfunktion hat die Form

wobei $a$ und $b$ Parameter sind, daher gegebene Zahlen. $a$ ist wie immer die Basis, und wir nehmen an, dass sie immer positiv ist ($a>0$). Der Parameter $b$ ist ist eine beliebige Zahl verschieden von null ($b\neq 0$). Bei der Exponentialfunktion ist der Input $x$ also im Exponenten. Also nicht zu verwechseln mit den Potenzfunktionen $f(x)=bx^a$, wo der Input $x$ in der Basis ist.

Hier sind weitere Beispiele von Exponentialfunktionen:

Unten gezeigt sind die Graphen von zwei Exponentialfunktionen.

und

Die Wertetabellen sind zum Beispiel

Aus den obigen Graphen und Wertetabellen lassen sich einige Eigenschaften ablesen, die allgemein für Exponentialfunktionen $f(x)=b a^x$ gelten:

1. Der Graph einer Exponentialfunktion nähert sich der $x$-Achse, berührt sie aber nie (daher die $x$-Achse ist eine Asymptote von $f$). Der Grund dafür ist, dass $a^x$ niemals $0$ oder negativ sein kann, egal welche Zahl wir für $x$ wählen.
2. Der $y$-Achsenabschnitt ist $b$, da $$f(0)=b\cdot a^0 =b\cdot 1=b$$
3. Für eine Basis grösser als $1$ ($a>1$) wächst der Graph wenn $x$ gegen unendlich geht, für eine Basis zwischen $0$ und $1$ ($a\in ]0,1[$) wächst der Graph wenn $x$ gegen minus unendlich geht.
4. Für jeden Schritt der Länge $1$ nach rechts ändert sich die Höhe des Graphen ($y$) um den Faktor $a$. Für das obige Beispiel $$f(x)=3^x$$ (daher $a=3$) ist bei $x=0$ die Höhe $y=1$, bei $x=1$ ist die Höhe $y$ dreimal so gross, bei $x=2$ wieder dreimal so gross, und so weiter (siehe Wertetabelle oben). Für $$f(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^x$$ (daher $a=\frac{1}{3}$) ist bei $x=0$ die Höhe $y=1$, bei $x=1$ ist die Höhe $y$ ein drittel mal so gross, bei $x=2$ wieder ein drittel mal so gross, und so weiter (siehe Wertetabelle oben). Wir werden diesen Umstand in den Kapiteln über exponentielles Wachstum genauer diskutieren und verallgemeinern.

Ist eine Funktion der Form

auch eine Exponentialfunktion? Ja, das ist sie, denn wir können wie folgt umformen:

In der Tat ist jede Funktion der Form

eine Exponentialfunktion.