Die Ableitung von Exponentialfunktionen

Gegeben sei eine Exponentialfunktion

f(x)=b^x

wobei $b>0$ die Basis ist. Ein typisches Beispiel ist $f(x)=e^x$ (daher $b=e$ ist die Euler'sche Konstante $e=2.71828182845...$ ), oder $f(x)=2^x$ . Die Ableitung einer Exponentialfunktion ist:

Theorem 1

f(x)=b^x \rightarrow f'(x)=\ln(b)\cdot b^x

Daher, die Ableitung einer Exponentialfunktion ist dieselbe Exponentialfunktion, multipliziert mit einer Konstanten.

Example 1

$f(x)=2^x \rightarrow f'(x)=\ln(2)\cdot 2^x = 0.69314... \cdot 2^x$
$f(x)=e^x \rightarrow f'(x)=\underbrace{\ln(e)}_{=1} \cdot e^x = e^x$

Daher die Ableitung von $e^x$ ist die gleiche Funktion $e^x$ ! Es gibt keine andere nicht-triviale Funktion (eine solche wäre $f(x)=0$ für alle $x$ ), für welche dies gilt.

Versuchen wir zu verstehen, wieso die Ableitung von $b^x$ die Funktion $\ln(b) b^x$ ist. Wir machen dies anhand eines konkreten Beispiels: $f(x)=e^x$ .

Zeichne zuerst den Graphen der Funktion $f(x)=e^x$ , und skizziere dann den Graphen von $f'$ . Versuche es selbst, und vergleichen dann mit der Lösung (klicke rechts).

Show

Vom skizzierten Graphen $f'$ können wir folgendes lernen:

Die Ableitung von $f(x)=e^x$ ist nicht $f'(x)=x\cdot e^{x-1}$ . Wir könnten dies vermuten, in Anlehnung an die Ableitungsregel für Potenzfunktionen ( $x^n \rightarrow n x^{n-1}$ ), aber wenn wir den Graph von $x\cdot e^{x-1}$ mit dem skizzierten Graphen $f'$ von oben vergleichen, sehen wir sofort, dass dies nicht möglich ist. Zum Beispiel geht der Graph von $x\cdot e^{x-1}$ durch den Nullpunkt $(0|0)$ , der skizzierte Graph $f'$ aber nicht!
In der Tat sieht der skizzierte Graph $f'$ dem Graphen $f$ extrem ähnlich. Es scheint also zumindest plausible, dass $f'$ wieder eine exponential Funktion ist. Wir müssen dies aber noch formal beweisen (siehe Übung unten).

Exercise 1

Brauche den Differentialquotienten um zu zeigen, dass die Ableitung von $f(x)=e^x$ wieder die Funktion $f'(x)=e^x$ ist. Tipp: Es gilt

\frac{e^h-1}{h} \rightarrow 1\quad (\text {for } h\rightarrow 0)

Solution

Der Differentialquotient ist

f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Wir haben

\begin{aligned} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} & = \frac{e^{x+h}-e^x}{h} \\ & = \frac{e^x\cdot e^h-e^x}{h} \\ & = \frac{e^x\cdot (e^h-1)}{h} \\ & = \frac{e^h-1}{h}\cdot e^x \\ \end{aligned}

HIER BEWEIS FÜR $\frac{e^h-1}{h} = 1$ IMPLEMENTIEREN

Wir haben jetzt das Problem, dass wir immer noch nicht $h=0$ einsetzen können, da dann $\frac{e^h-1}{h}=\frac{0}{0}$ , und wir können diesen Ausdruck auch nicht weiter vereinfachen, so wie wir das oft getan haben. Berechnen wir also die Werte von $\frac{e^h-1}{h}$ für kleiner werdende $h$ :

Wir sehen, dass

\frac{e^h-1}{h} \rightarrow 1\quad (\text {for } h\rightarrow 0)

und somit ist in der Tat $f'(x)=e^x$ .

Exercise 2

Zeige mit einem analogen Beweis, dass

f(x)=2^x \rightarrow f'(x)=\ln(2)\cdot 2^x

Tipp: $\ln(2)=0.6931471805599453...$

Solution

Es ist

\begin{aligned}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} & = \frac{2^{x+h}-2^x}{h} \\ & = \frac{2^x\cdot 2^h-2^x}{h} \\ & = \frac{2^x\cdot (2^h-1)}{h} \\ & = \frac{2^h-1}{h}\cdot 2^x \\ \end{aligned}

Setzen wir kleiner werdende Werte für $h$ ein, so sehen wir, dass $\frac{2^h-1}{h}$ gegen $\ln(2)$ konvergiert:

Es ist also $f'(x)=\ln(2)\cdot 2^x$ .

Exercise 3

Bestimme die Ableitung von $f$ :
1. $f(x)=7^x$
2. $f(x)=10 e^x$
3. $f(x)=2 e^x-4\cdot 6^x$
4. $f(x)=x^4-4^x$
Finde die Funktionsgleichung der Tangente mit Steigung $0.5$ an den Graphen der Funktion $f(x)=3\cdot 5^x$ .
Gegeben ist die Funktion $f(x)=3e^x-4$ .
1. Wo schneidet der Graph von $f$ die $x$ -Achse und die $y$ -Achse?
2. Bestimme den Schnittwinkel zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$ -Achse.
3. Bestimme den Schnittwinkel zwischen dem Graphen von $f$ und der $y$ -Achse.

Solution

Es ist
1. $f'(x)=\ln(7)\cdot 7^x$
2. $f'(x)=10e^x$
3. $f'(x)=2 e^x - 4\ln(6)\cdot 6^x$
4. $f'(x)=4x^3-\ln(4)\cdot 4^x$
Erstens, Finde den Punkt $A(x\vert y)$ wo die Tangente den Graphen berührt. Finde also ein $x$ mit
$f'(x)=3\ln(5)\cdot 5^x = 0.5$
und somit
$5^x=\frac{0.5}{3\ln(5)}$
Nehmen wir den Logarithmus auf beiden Seiten, so erhalten wir
$x \ln(5) = \ln\left(\frac{0.5}{3\ln(5)}\right)$
und somit $x=-1.409$

Es ist also $y=f(-1.409)=3\cdot 5^{-1.409}=0.311$ und $A(-1.409\vert 0.311)$

Zweitens, um die Funktionsgleichung von der Tangente zu finden, $t(x)=ax+b$ , beachte, dass $a=0.5$ , und somit wegen
$t(-1.409)=0.5\cdot (-1.409)+b = 0.311$
folgt $b=1.02$ . Wir haben also $t(x)=\underline{0.5x+1.02}$ .
$f'(x)=3e^x$

Schnitt mit $y$ -Achse: $f(0)=3e^0-4=3-4=\underline{-1}$ . Die Steigung der Tangente an diesem Punkt ist $a=f'(0)=3e^{0}=3$ , der Schnittwinkelwinkel mit der $x$ -Achse ist somit $\alpha=\arctan(a)=\arctan(3)=71.565^\circ$ . Der Schnittwinkel mit der $y$ -Achse ist somit $\beta=90- \alpha=\underline{18.435^\circ}$ . Eine Skizze hilft!

Schnitt mit $x$ -Achse: Finde $x$ mit $f(x)=3e^x-4=0 \rightarrow e^x=\frac{4}{3} \rightarrow x=\ln(4/3)=\underline{0.288}$ . Die Tangentensteigung an diesem Punkt ist $a=f'(\ln(4/3))=3e^{\ln(4/3)}=4$ . Der Schnittwinkel mit der $x$ -Achse ist somit $\alpha=\arctan(a)=\arctan(4)=\underline{75.964^\circ}$ .