Grad und Radiant

Wir diskutieren zwei Arten, die Position eines Punktes auf dem Kreis anzugeben (siehe Skizze unten): mit dem Winkelmass (schon bekannt) und mit dem Bogenmass (neu).

Es ist also ein Punkt $A$ auf einem Kreis gegeben, wobei wir uns auf den Einheitskreis beschränken (daher $r=1$ ). Der Umfang des Einheitskreises ist

U = 2r\pi = 2\pi \approx 6.28

Wir wollen nun beschreiben, wo $A$ genau auf dem Kreis liegt. Dazu definieren wir den Punkt ganz rechts auf dem Kreis als Startpunkt $S$ (siehe Bild unten).

Wir können nun die Position von $A$ relativ zu $S$ mit zwei Massen angeben:

Definition 1: Mit dem Winkelmass

Dazu bestimmen wir den Winkel $\alpha$ , der durch den Kreismittelpunkt und die Punkte $S$ und $A$ aufgespannt wird. Das Winkelmass wird in Grad angegeben (Zeichen $^{\circ}$ ), wobei $360^\circ$ eine volle Umkreisung bedeutet.

Beispiel: Der Punkt $A$ in der Skizze ist etwa bei $45$ Grad oder bei $45^\circ$ .

Definition 2: Mit dem Bogenmass

Dazu bestimmen wir die Länge des Bogens $x$ zwischen $S$ und $A$ . Das Bogenmass wird in Radiant angegeben (Zeichen $\texttt{rad}$ ), wobei $2\pi\texttt{ rad}$ eine volle Umkreisung bedeutet.

Beispiel: Der Punkt $A$ in der Skizze ist etwa bei $\frac{\pi}{4}$ Radiant oder bei $\qty{0.785}{rad}$ . Mit $\frac{\pi}{4}\approx 0.785$ können wir auch sagen, dass $A$ bei etwa $0.785$ Radiant oder $\qty{0.785}{rad}$ liegt.

Note 1

Während das Winkelmass immer mit Grad ( $^\circ$ ) angegeben wird, lassen wir beim Bogenmass die Bezeichnung Radiant ( $\texttt{rad}$ ) normalerweise weg: Punkt $A$ ist bei $45^\circ$ oder bei $\frac{\pi}{4}$ oder bei $0.785$ .
Bei einem positiven Winkel $\alpha$ oder einer positiven Bogenlänge $x$ wird vom Startpunkt $S$ aus im Gegenuhrzeigersinn abgetragen, bei einem negativen Winkel oder einer negativen Bogenlänge im Uhrzeigersinn.
Die Position eines Punktes auf dem Kreis kann durch unendlich viele Zahlen in Grad oder Radiant angegeben werden. Zum Beispiel ist der Punkt $A$ bei $45^\circ$ auch bei $405^\circ, 765^\circ$ oder $-315^\circ$ zu finden. Der gleiche Punkt $A$ ist auch bei der Bogenlänge $\frac{\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}, \frac{17\pi}{4}$ oder $-\frac{7\pi}{4}$ zu finden.
Umrechnung Grad $\rightarrow$ Radiant (Dreisatz): Ist der Punkt $A$ bei $40^\circ$ , so gilt: $\begin{array}{lll} 360^\circ & \hat{=}& 2\pi \\ 1^\circ & \hat{=} & \frac{2\pi}{360^\circ} =\frac{\pi}{180^\circ}\\ 40^\circ & \hat{=} & 40^\circ\cdot \frac{\pi}{180^\circ}= 0.698\\ \end{array}$
Umrechnung Radiant $\rightarrow$ Grad (Dreisatz): Ist der Punkt $A$ bei der Bogenlänge $1.3$ , so gilt: $\begin{array}{lll} 2\pi & \hat{=}& 360^\circ\\ 1& \hat{=} & \frac{360^\circ}{2\pi}=\frac{180^\circ}{\pi}\\ 1.3 & \hat{=} & 1.3\cdot \frac{180^\circ}{\pi}=74.48^\circ\\ \end{array}$

Allgemein haben wir also die folgenden Umrechnungsformeln:

Theorem 1: Umrechnung Grad und Radiant

\begin{array}{lll} \frac{\text{Grad}}{180^\circ}\cdot \pi &=& \text{Radiant}\\[1em] \frac{\text{Radiant}}{\pi}\cdot 180^\circ &=& \text{Grad} \end{array}

Exercise 1

Zeichne einen Einheitskreis in ein Koordinatensystem ein, mit dem Kreismittelpunkt im Punkt $(0|0)$ . Zeige, dass die Punkte $P(1|0)$ , $Q(0|1)$ , $R(-1|0)$ , $S(0|-1)$ , $T(1/\sqrt{2}|1/\sqrt{2})$ , $U(-1/\sqrt{2}|1/\sqrt{2})$ , $V(1/\sqrt{2}|-1/\sqrt{2})$ und $W(-1/\sqrt{2}|-1/\sqrt{2})$ auf dem Einheitskreis liegen, und drücke die Position in Grad und Radiant aus.
Zeichne einen Einheitskreis und trage die Punkte an den Positionen $30^\circ$ , $405^\circ$ , $-15^\circ$ und $300^\circ$ ein.
Zeichne einen Einheitskreis und trage die Punkte an den Positionen $5\pi/4\text{ rad}$ , $-7\pi/2\text{ rad}$ , $\pi/6\text{ rad}$ , $2\pi/3\text{ rad}$ , $-19\pi/4\text{ rad}$ und $20.5 \pi\text{ rad}$ ein.
Zeichne den Punkt bei $1 \text{ rad}$ auf dem Einheitskreis ein. Wie viele Grade sind das?
Zeichne den Punkt bei $1^\circ$ auf dem Einheitskreis ein. Wie viele Radianten sind das?

Solution