Grafisches Ableiten

Wir haben gesehen, dass $f'$ die Funktion oder Formel bezeichnet, mit der die Steigung der Tangente bei $x$ an den Graphen von $f$ berechnet werden kann:

Sowohl $f$ wie auch $f'$ sind Funktionen, und wir können die Graphen beider Funktionen zeichnen, sofern wir die algebraischen Ausdrücke besitzen. Hier ist ein Beispiel:

Example 1

Gegeben sei die Funktion $f(x)=x^2$. Die Ableitung ist $f'(x)=2x$.

$$\begin{array}{cllc} x & & & x &\\ \large\downarrow & & & \large\downarrow & \\ \boxed{\large f} & \text{Regel: } x^2 & \Longrightarrow & \boxed{\large f'} & \text{Regel: } 2x\\ \large\downarrow & & & \large\downarrow & \\ y & & & y & \\ \end{array}$$

Und wir können nun die Graphen wie üblich zeichnen (siehe unten). Beachte, dass die Höhe des Graphen $f'$ bei $x$ gerade die Steigung der Tangente an $f$ an der Stelle $x$ ist.

Wir sehen also, dass wir den Graphen von $f'$ direkt vom Graphen $f$ skizzieren können, und zwar wie folgt:

• Wähle einen Punkt $x$ auf der $x$-Achse.
• Zeichne die Tangente and den Graphen von $f$ an dieser Stelle.
• Schätze die Steigung dieser Tangente, dies ist gerade eine Schätzung für die Höhe des Graphen $f'$ an der Stelle $x$.

Wird dies für geeignete Punkte $x$ gemacht, so lässt sich so der Graph von $f'$ einigermassen genau skizzieren. Ein Beispiel ist unten gezeigt.

Example 2

Gegeben ist der Graph einer Funktion $f$ (siehe Bild unten, Graph oben). Skizziere den Graphen von $f'$. Beachte:

• Meistens ist es sinnvoll, mit den Punkten zu beginnen, wo die Tangente horizontal ist, da dort $f'$ die $x$-Achse schneidet. Diese Punkte sind leicht zu finden.
• Wähle dann noch ein paar Punkte zwischen diesen horizontalen Tangenten und schätze ungefähr die Steigung (zum Beispiel mit dem Steigungsdreieck). Es muss nicht super exakt sein.