Schnittwinkel

Der Schnittwinkel zwischen der xx-Achse und einer Geraden

Der Winkel zwischen sich zwei schneidenden Geraden lässt sich relativ einfach bestimmen - entweder mit Vektorgeometrie oder mit den trigonometrischen Funktionen. Zum Beispiel, gegeben sei eine lineare Funktion

f(x)=ax+bf(x)=ax+b

Der Graph dieser Funktion ist eine Gerade. Wir wollen nun herausfinden, wie gross der Winkel α\alpha ist zwischen dieser Geraden und der xx-Achse (siehe Bild unten). Da aa die Steigung ist, gilt für jedes Steigungsdreieck, dass

a=ΔyΔxa=\frac{\Delta y}{\Delta x}

Aber das Steigungsdreieck ist ein rechtwinkliges Dreieck, und somit gilt auch

tan⁡(α)=GA\tan(\alpha)=\frac{G}{A}

wobei GG die Gegenkathete (von α\alpha) und AA die Ankathete (von α\alpha) ist. Aber wir haben auch Δx=A\Delta x = A und Δy=G\Delta y= G (siehe Bild unten). Es ist also

tan⁡(α)=ΔyΔx=a\tan(\alpha)=\frac{\Delta y}{\Delta x} =a

und somit

α=arctan⁡(a) oder α=arctan⁡(Steigung)\boxed{\alpha = \arctan(a) \text{ oder } \alpha = \arctan(\text{Steigung})}
Note 1
  • α\alpha ist der kleinere der beiden Winkel zwischen der Geraden und der xx-Achse.
  • Falls der resultierende Winke negativ ist, bedeutet das, dass wir den Winkel im Uhrzeigersinn abtragen müssen.
  • Der Arkustangens arctan⁡\arctan wird auch der Inverse Tangens genannt und geschrieben als tan⁡−1\tan^{-1}. Dies ist meistens auch die Notation auf dem Taschenrechner.
  • Beachte den Mode im Taschenrechner. Falls der Winkel im Grad gewünscht wird, muss zuerst der Mode auf Grad gestellt werden.
Exercise 1

  1. Im Bild unten links ist Δx=2\Delta x=2 und Δy=2.8\Delta y=2.8, im Bild rechts ist Δx=2\Delta x=2 und Δy=−3.2\Delta y=-3.2. Berechne den Winkel α\alpha in beiden Fällen.

  2. Gegeben sind die zwei linearen Funktionen f(x)=0.5x+1f(x)=0.5x+1 und g(x)=−1.5x+3g(x)=-1.5x+3. Zeichne die Graphen, und berechne den kleineren Winkel zwischen der jeweiligen Gerade und der xx-Achse. Zeichne die Situation.

Solution
  1. Links: a=ΔyΔx=2.82=1.4→α=arctan⁡(1.4)=54.46∘a=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{2.8}{2}=1.4 \rightarrow \alpha=\arctan(1.4)=54.46^\circ. Rechts: Beachte, dass Δy<0\Delta y<0 da wir nach unten gehen im Steigungsdreieck. a=ΔyΔx=−3.22=−1.6→α=arctan⁡(−1.6)=−58∘a=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-3.2}{2}=-1.6 \rightarrow \alpha=\arctan(-1.6)=-58^\circ. Der Winkel ist also 58∘58^\circ, gemessen im Uhrzeigersinn.
  2. αf=arctan⁡(0.5)=26.57∘\alpha_f=\arctan(0.5)=26.57^\circ und αg=arctan⁡(−1.5)=−56.31∘\alpha_g=\arctan(-1.5)=-56.31^\circ (der Winkel ist also 56.31∘56.31^\circ und wird im Uhrzeigersinn abgetragen).

Der Schnittwinkel zwischen der xx-Achse und einer Tangente

Wir können obige Formel nun auf Tangenten anwenden.

Theorem 1: Winkel zwischen x-Axis und Tangente an f
Proof

Der Beweis sollte klar sein. Die Tangente hat ja die Steigung a=f′(u)a=f^\prime(u).

Gegeben sei eine Funktion ff und die Tangente an den Graphen von ff bei x=ux=u (siehe Bild unten). Der Winkel α\alpha zwischen der Tangente und der xx-Achse ist

α=arctan⁡(f′(u))\alpha = \arctan(f^\prime(u))
Exercise 2

Gegeben sei die Funktion f(x)=x2f(x)=x^2. Berechne den Winkel zwischen der xx-Achse und der Tangente an den Graphen von ff bei x=1x=1.

Solution

f′(x)=2x→a=f′(1)=2→α=arctan⁡(2)=63.43∘f'(x)=2x \rightarrow a=f'(1)=2 \rightarrow \alpha=\arctan(2)=63.43^\circ.

Der Schnittwinkel zwischen der xx-Achse und einer Kurve

Unklar ist zuerst, wie wir den Schnittwinkel zwischen der xx-Achse und einer Kurve definieren können. Mit der Tangente hingegen eröffnet sich hier eine Möglichkeit:

Theorem 2: Winkel zwischen x-Axis und Kurve

Gegeben sei eine Funktion ff deren Graphen die xx-Achse bei x=ux=u schneidet (siehe Bild unten). Es gilt

α=arctan⁡(f′(u))\alpha = \arctan(f'(u))

Wir nennen diesen Winkel den Schnittwinkel. Beachte, dass es zwei Winkel gibt, und wir nehmen typischerweise den kleineren der beiden.

Exercise 3

Der obige Graph ist f(x)=x2−1f(x)=x^2-1. Finde beide Schnittwinkel des Graphen von ff mit der xx-Achse.

Solution
  • Finde die Nullstellen von xx (die xx-Achsenabschnitte): f(x)=0→x2−1=0→x1=−1f(x)=0\rightarrow x^2-1=0\rightarrow x_1=-1 und x2=1x_2=1.
  • Die Ableitung von ff ist f′(x)=2xf'(x)=2x. Die Steigung der Tangente bei x1=−1x_1=-1 ist also a1=f′(−1)=−2a_1=f'(-1)=-2 und die Steigung der Tangente bei x2=1x_2=1 ist a2=f′(1)=2a_2=f'(1)=2.
  • Der Winkel bei x1=−1x_1=-1 ist α1=arctan⁡(−2)=−63.44∘‾\alpha_1 =\arctan(-2)=\underline{-63.44^\circ}. Der Winkel ist also 63.44∘63.44^\circ und wird im Uhrzeigersinn abgetragen.
  • Der Winkel bei x2=1x_2=1 is α2=arctan⁡(2)=63.44∘‾\alpha_2 =\arctan(2)=\underline{63.44^\circ}.

Der Schnittwinkel zwischen zwei Kurven

Gegeben seien zwei Funktionen ff and gg deren Graphen sich bei x=ux=u schneiden (siehe Bild unten). Wir können wiederum genau definieren, was wir mit dem Schnittwinkel zwischen den Kurven meinen:

Der Schnittwinkel \alpha zwischen den Graphen von ff and gg bei x=ux=u ist definiert als der (kleinere) Winkel zwischen den Tangenten an ff und gg beim Schnittpunkt x=ux=u.

Recipe 1

Um α\alpha zu bestimmen ist es hilfreich, zuerst die Winkel αf\alpha_f und αg\alpha_g zwischen der xx-Achse und den Tangenten zu finden (siehe Bild unten). Manchmal muss man die Winkel addieren, manchmal muss man sie subtrahieren. Zeichne die Graphen, um dies herauszufinden.

Exercise 4

Nimm an, die Steigungen im Bild oben seien af=2.5a_f=2.5 und ag=−1a_g=-1. Bestimme den Schnittwinkel α\alpha zwischen den Graphen.

Solution

Wir haben αf=arctan⁡(af)=arctan⁡(2.5)=68.19∘\alpha_f = \arctan(a_f)=\arctan(2.5) = 68.19^\circ und αg=arctan⁡(ag)=arctan⁡(−1)=−45∘\alpha_g = \arctan(a_g)=\arctan(-1) = -45^\circ. Also, α=180∘−68.19∘−45∘=66.8∘\alpha=180^\circ - 68.19^\circ-45^\circ=66.8^\circ

Exercise 5

  1. Bestimme den Schnittwinkel zwischen der xx-Achse und dem Graphen von ff:

    1. f(x)=5−3x2f(x)=5-3x^2
    2. f(x)=2(x+1)(x−2)(x−3)f(x)=2(x+1)(x-2)(x-3)

  2. Bestimme die Schnittwinkel zwischen den Graphen ff und gg:

    1. f(x)=x2f(x)=x^2 and g(x)=3−2x2g(x)=3-2x^2
    2. f(x)=x2f(x)=x^2 and g(x)=2x+3g(x)=2x+3 (for x>0x>0)

  3. Gegeben ist die Funktion f(x)=6+3x3f(x)=6+3\sqrt[3]{x}.

    1. Find den Schnittwinkel zwischen der xx-axis und dem Graphen von ff.

    2. Finde alle Punkte auf dem Graphen von ff, wo die Tangenten an ff mit der xx-Achse einen Winkel von 30∘30^\circ bilden.

Solution

  1. Es ist

    1. Bei x1=−53x_1=-\sqrt{\frac{5}{3}} ist α1=82.64∘\alpha_1=82.64^\circ, und bei x2=53x_2=\sqrt{\frac{5}{3}} ist α2=−82.64∘\alpha_2=-82.64^\circ
    2. Die Ableitung ist f′(x)=6x2−16x+2f'(x)=6x^2-16x+2. Bei x1=−1x_1=-1 ist die Steigung a1=24a_1=24 und α1=87.61∘\alpha_1=87.61^\circ, bei x2=2x_2=2 ist die Steigung a2=−6a_2=-6 und α2=−80.54∘\alpha_2=-80.54^\circ, und bei x3=3x_3=3 ist die Steigung a3=8a_3=8 und α3=82.87∘\alpha_3=82.87^\circ

  2. Es ist

    1. Bei P1=(1∣1)P_1=(1\vert 1) ist αf=63.43,αg=−75.95∘,α=40.91∘\alpha_f=63.43, \alpha_g=-75.95^\circ, \alpha=40.91^\circ. Bei P2=(−1∣1)P_2=(-1\vert 1) ist α=40.91∘\alpha=40.91^\circ
    2. Bei P1(3∣9)P_1(3\vert 9) ist α=17.1∘\alpha = 17.1^\circ, und bei P2(−1∣1)P_2(-1\vert 1) ist α=53.13∘\alpha = 53.13^\circ

  3. Es ist

    1. Bei x=−8x=-8 ist α=14.04∘\alpha=14.04^\circ
    2. Finde xx mit f′(x)=−x−2/3=tan⁡(30)→x=2.2795→P1(2.2795∣9.9482)f'(x)=-x^{-2/3}=\tan(30) \rightarrow x=2.2795 \rightarrow P_1(2.2795\vert 9.9482). Skizziere den Graphen. Wir sehen dann, dass es noch einen anderen Punkt gibt, er ist bei P2(−2.795∣2.0517)P_2(-2.795\vert 2.0517).