Mehrstufige Experimente

Exercise 1: Grundbegriffe

  1. Erkläre, was ein Wahrscheinlichkeitsbaum ist, und die dazugehörenden Regeln.

  2. Erkläre, was die bedingte Wahrscheinlichkeit ist, und die Notation dazu.

  3. Erkläre, wie die bedingte Wahrscheinlichkeit berechnet werden kann.

Solution

  1. Ein Wahrscheinlichkeitsbaum stellt mehrstufige Zufallsexperimente grafisch dar. Jeder Ast steht für ein mögliches Ergebnis, jeder Knoten für eine Stufe. Folgende Regeln:

    • Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ergibt sich durch Multiplikation der Astwahrscheinlichkeiten.
    • Die Summe aller Astwahrscheinlichkeiten an einem Knoten muss 11 ergeben.
    • Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ergibt sich als Summe aller Pfadwahrscheinlichkeiten, die zu diesem Ereignis führen.

  2. Die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A∣B)P(A \mid B) gibt an, wie wahrscheinlich AA ist, gegeben dass BB bereits eingetreten ist. Dies sind die Astwahrscheinlichkeiten im Aahrscheinlichkeitsbaum.

    Notation: P(A∣B)P(A \mid B) lies: „Wahrscheinlichkeit von AA, gegeben BB"

  3. Aus der Multiplication von Astwahrscheinlichkeiten im Baum folgt, dass

    P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}
Exercise 2

Eine Urne enthält 3 rote, 2 blaue und 1 grüne Kugel (6 Kugeln total). Es wird zweimal gezogen.

  1. Mit Zurücklegen: Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, zweimal die gleiche Farbe zu ziehen?

  2. Ohne Zurücklegen: Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, zweimal die gleiche Farbe zu ziehen?

  3. Ohne Zurücklegen: Wie gross ist P(1. Kugel gru¨n∣2. Kugel rot)P(\text{1. Kugel grün} \mid \text{2. Kugel rot})?

Solution

Wahrscheinlichkeitsbaum zeichen!

  1. P(gleiche Farbe)=36⋅36+26⋅26+16⋅16≈0.389 P(\text{gleiche Farbe}) = \frac{3}{6}\cdot\frac{3}{6} + \frac{2}{6}\cdot\frac{2}{6} + \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6} \approx 0.389
  2. P(gleiche Farbe)=36⋅25+26⋅15+16⋅05≈0.267P(\text{gleiche Farbe}) = \frac{3}{6}\cdot\frac{2}{5} + \frac{2}{6}\cdot\frac{1}{5} + \frac{1}{6}\cdot\frac{0}{5} \approx 0.267
  3. P(2. rot)=36⋅25+26⋅35+16⋅35=12P(\text{2. rot}) = \frac{3}{6}\cdot\frac{2}{5} + \frac{2}{6}\cdot\frac{3}{5} + \frac{1}{6}\cdot\frac{3}{5} = \frac{1}{2} P(1. gru¨n∣2. rot)=P(1. gru¨n und 2. rot)P(2. rot)=35⋅1612=0.2\begin{array}{lll} P(\text{1. grün} \mid \text{2. rot}) &=& \frac{P(\text{1. grün und 2. rot})}{P(\text{2. rot})}\\ &=& \frac{\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{6}}{\frac{1}{2}}= 0.2 \end{array}
Exercise 3

Eine Urne enthält 4 rote und 2 blaue Kugeln (6 total). Es wird zweimal gezogen.

  1. Mit Zurücklegen: Wie gross ist P(2. Kugel rot∣1. Kugel blau)P(\text{2. Kugel rot} \mid \text{1. Kugel blau})?

  2. Ohne Zurücklegen: Wie gross ist P(2. Kugel rot∣1. Kugel blau)P(\text{2. Kugel rot} \mid \text{1. Kugel blau})?

  3. Ohne Zurücklegen: Wie gross ist P(1. Kugel blau∣2. Kugel rot)P(\text{1. Kugel blau} \mid \text{2. Kugel rot})?

Solution

Wahrscheinlichkeitsbaum zeichen!

  1. P(2. rot∣1. blau)=46=23≈0.667 P(\text{2. rot} \mid \text{1. blau}) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \approx 0.667
  2. P(2. rot∣1. blau)=45=0.8P(\text{2. rot} \mid \text{1. blau}) = \frac{4}{5} = 0.8
  3. P(1. blau∣2. rot)=P(1. blau und 2. rot)P(2. rot)=26⋅4546⋅35+26⋅45=0.4P(\text{1. blau} \mid \text{2. rot})=\frac{P(\text{1. blau und 2. rot})}{P(\text{2. rot})}=\frac{\frac{2}{6}\cdot\frac{4}{5}}{\frac{4}{6}\cdot\frac{3}{5} + \frac{2}{6}\cdot\frac{4}{5}}=0.4