Sinus- & Cosinussatz

Exercise 1: Peripherie

Wenn der Zentriwinkel einer Kreissehne 180∘180^\circ ist, wie gross ist dann der Peripheriewinkel?

Solution

Die Sehne ist dann ein Durchmesser und der Peripheriewinkel 90∘90^\circ.

Der Sinussatz

Theorem 1: Sinussatz

In einem beliebigen Dreieck gilt

Equation 1: Sinussatz
asin⁡(α)=bsin⁡(β)=csin⁡(γ)\frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin(\beta)}=\frac{c}{\sin(\gamma)}

In Worten: Im Dreieck ist das Verhältnis jeder Seite zum Sinus des gegenüberliegenden Winkels eine Konstante.

Proof

Für ein beliebiges Dreieck gilt:

F=12c⋅hcF=\frac{1}{2}c\cdot h_c

Nun soll hch_c eliminiert werden. Wir finden

sin⁡(180∘−α)=hcb\sin(180^\circ-\alpha)=\frac{h_c}{b}

also hc=b⋅sin⁡(180∘−α)h_c=b\cdot\sin(180^\circ-\alpha) oder hc=b⋅sin⁡(α)h_c=b\cdot\sin(\alpha). Letzteres ist klar, wenn wir uns den Graphen des Sinus vor Augen führen. Wir können also nun

F=12c⋅hc=12c⋅bsin⁡(α)=12bcsin⁡(α)F=\frac{1}{2}c\cdot h_c=\frac{1}{2}c\cdot b\sin(\alpha)=\frac{1}{2}bc\sin(\alpha)

schreiben. Durch zyklische Vertauschung erhält man

F=12bcsin⁡(α)F=12absin⁡(γ)F=12acsin⁡(β)\begin{align} F&=\frac{1}{2}bc\sin(\alpha)\tag{1}\\ F&=\frac{1}{2}ab\sin(\gamma)\tag{2}\\ F&=\frac{1}{2}ac\sin(\beta)\tag{3} \end{align}

Setzt man nun z. B. (1) = (2), hat man

csin⁡(α)=asin⁡(γ),c\sin(\alpha)=a\sin(\gamma),

woraus unmittelbar

asin⁡(α)=csin⁡(γ)\frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{c}{\sin(\gamma)}

folgt. Durch Kombination von (1) = (2) und (2) = (3) erhält man durch Gleichsetzen die Behauptung.

Man erhält diese schöne Beziehung, wenn man den Flächeninhalt eines Dreiecks bestimmen will, ohne dabei die Höhe in der Flächenformel auftauchen zu lassen.

Es gilt folgender

Theorem 2

Diese Konstante ist gleich dem Umkreisdurchmesser des Dreiecks:

asin⁡(α)=2r\frac{a}{\sin(\alpha)}=2r
Proof

Stelle für den Peripheriewinkel den Thaleskreis ein und rechne.

Der Cosinussatz

Theorem 3: Cosinussatz

In einem beliebigen Dreieck gilt

a2=b2+c2−2bccos⁡(α)a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\alpha)
Proof

Aus einem beliebigen Dreieck

zieht man die Beziehungen

cos⁡(α)=qbb2=q2+hc2a2=hc2+(c−q)2,\begin{align} \cos(\alpha)&=\frac{q}{b}\tag{4}\\ b^2&=q^2+h_c^2\tag{5}\\ a^2&=h_c^2+(c-q)^2,\tag{6} \end{align}

löst (6) und (5) nach hc2h_c^2 auf und setzt gleich:

b2−q2=a2−c2+2cq−q2,b^2-q^2=a^2-c^2+2cq-q^2,

also

b2=a2−c2+2cq.b^2=a^2-c^2+2cq.

Aus (4) folgt q=bcos⁡(α)q=b\cos(\alpha) und oben eingesetzt

b2=a2−c2+2cbcos⁡(α).b^2=a^2-c^2+2cb\cos(\alpha).

Daraus folgt die Behauptung.

(Cosinussatz präsentiert)

Exercise 2: Zyklische Vertauschung

Welche Beziehungen entstehen durch zyklische Vertauschung beim Cosinussatz? Warum kann man den Cosinussatz als «verallgemeinerten pythagoreischen Lehrsatz» bezeichnen?

Solution

Sei rr der Umkreisradius. Betrachten wir o. E. d. A. die Seite aa mit gegenüberliegendem Winkel α\alpha. Für die Seite aa ist der Umkreis Peripheriewinkelkreis. Verschiebe nun die Ecke AA so lange auf dem Kreisrand Richtung BB, bis die Seite bb durch den Umkreismittelpunkt verläuft. Der Winkel in AA ist immer noch α\alpha, die Seite bb ist als Hypotenuse 2r2r lang und wir haben in BB einen rechten Winkel (Thaleskreis). Daher gilt nun sin⁡(α)=a2r\sin(\alpha)=\frac{a}{2r}, woraus unmittelbar der Satz folgt.

Exercise 3: Sinussatz

Gegeben sei ein Dreieck mit den Seitenlängen a=6a=6 und b=8b=8 und der Winkel α=35∘\alpha=35^\circ. Berechne die fehlende Seite und die fehlenden Winkel.

Solution

(Da a<ba < b ist, gibt es zwei mögliche Dreiecke (zweideutiger Fall).)

Mit dem Sinussatz asin⁡(α)=bsin⁡(β)\frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin(\beta)} folgt:

sin⁡(β)=b⋅sin⁡(α)a=8⋅sin⁡(35∘)6≈0.7648\sin(\beta) = \frac{b \cdot \sin(\alpha)}{a} = \frac{8 \cdot \sin(35^\circ)}{6} \approx 0.7648

Daraus ergeben sich zwei mögliche Winkel für β\beta:

  • β1≈49.9∘\beta_1 \approx 49.9^\circ
  • β2=180∘−49.9∘≈130.1∘\beta_2 = 180^\circ - 49.9^\circ \approx 130.1^\circ

Im ersten Fall ist γ1=180∘−35∘−49.9∘=95.1∘\gamma_1 = 180^\circ - 35^\circ - 49.9^\circ = 95.1^\circ und c1=a⋅sin⁡γ1sin⁡(α)=6⋅sin⁡(95.1∘)sin⁡(35∘)≈10.42c_1 = a \cdot \frac{\sin\gamma_1}{\sin(\alpha)} = 6 \cdot \frac{\sin(95.1^\circ)}{\sin(35^\circ)} \approx 10.42

Im zweiten Fall haben wir γ2=180∘−35∘−130.1∘=14.9∘\gamma_2 = 180^\circ - 35^\circ - 130.1^\circ = 14.9^\circ und c2=a⋅sin⁡γ2sin⁡(α)=6⋅sin⁡(14.9∘)sin⁡(35∘)≈2.69c_2 = a \cdot \frac{\sin\gamma_2}{\sin(\alpha)} = 6 \cdot \frac{\sin(14.9^\circ)}{\sin(35^\circ)} \approx 2.69

Note 1

Es kann vorkommen, dass die Auflösung nach einem Winkel unmöglich scheint — nämlich dann, wenn im Dreieck nach einem stumpfen Winkel gesucht wird. Dieses Problem erklärt sich mit der Identität

sin⁡(α)=sin⁡(180∘−α).\sin(\alpha) = \sin(180^\circ - \alpha).
Exercise 4: Kosinussatz

Gegeben sei ein Dreieck mit den Seitenlängen a=6a=6, b=8b=8 und c=12c=12. Berechne alle Winkel.

Solution

Da alle drei Seiten gegeben sind, verwende den Cosinussatz:

cos⁡(α)=b2+c2−a22bc=82+122−622⋅8⋅12=172192≈0.8958\cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{8^2 + 12^2 - 6^2}{2 \cdot 8 \cdot 12} = \frac{172}{192} \approx 0.8958

⇒α≈26.4∘\Rightarrow \alpha \approx 26.4^\circ und

cos⁡(β)=a2+c2−b22ac=62+122−822⋅6⋅12=116144≈0.8056\cos(\beta) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{6^2 + 12^2 - 8^2}{2 \cdot 6 \cdot 12} = \frac{116}{144} \approx 0.8056

⇒β≈36.3∘\Rightarrow \beta \approx 36.3^\circ.

γ\gamma berechnest du über die Winkelsumme im Dreieck:

γ=180∘−α−β=180∘−26.4∘−36.3∘=117.3∘\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta = 180^\circ - 26.4^\circ - 36.3^\circ = 117.3^\circ
Exercise 5: Verhältnisse

In einem Dreieck gilt:

sin⁡(α)÷sin⁡(β)÷sin⁡(γ)=3÷4÷5\sin(\alpha)\div\sin(\beta)\div\sin(\gamma)=\sqrt{3}\div\sqrt{4}\div\sqrt{5}

Wie gross sind die Winkel?

Solution

Aufgrund der Verhältnisgleichung ab=sin⁡(α)sin⁡(β)\frac{a}{b}=\frac{\sin(\alpha)}{\sin(\beta)} setzen wir a=3a=\sqrt{3}, b=2b=2 und c=5c=\sqrt{5} und berechnen die Winkel mit dem Cosinussatz. Wir haben

a2=b2+c2−2bccos⁡(α)a2−b2−c2=−2bccos⁡(α)b2+c2−a2=2bccos⁡(α)cos⁡(α)=b2+c2−a22bcα=arccos⁡(b2+c2−a22bc)\begin{align*} a^2 &= b^2+c^2-2bc\cos(\alpha)\tag{$-b^2-c^2$}\\ a^2 - b^2 - c^2 &= -2bc\cos(\alpha)\tag{$\cdot(-1)$}\\ b^2 + c^2 - a^{2} &= 2bc\cos(\alpha)\tag{$\div2bc$}\\ \cos(\alpha) &= \frac{b^2 + c^2 - a^{2}}{2bc}\tag{$\arccos(\phantom{x})$}\\ \alpha &= \arccos\left(\frac{b^2 + c^2 - a^{2}}{2bc}\right) \end{align*}

Also α≈48∘\alpha\approx48^{\circ}, β≈59∘\beta\approx59^{\circ} und γ≈73∘\gamma\approx73^{\circ}.

Exercise 6: Bergwerkstollen

Zwei waagrechte Bergwerkstollen gehen von einem Punkt AA aus unter dem Winkel 75∘75^\circ. Sie haben die Länge AB=325 mAB=325\,\mathrm{m} bzw. AC=275 mAC=275\,\mathrm{m}. Wie lang wird ein Verbindungsstollen von BB nach CC? Unter welchem Winkel gegen BABA muss man ihn von BB aus vorantreiben?

Solution

Die Länge ist BC‾=3252+2752−2⋅325⋅275⋅cos⁡(75∘)≈367 m\overline{BC}=\sqrt{325^{2}+275^{2}-2\cdot325\cdot275\cdot\cos(75^\circ)}\approx367\,\mathrm{m}. Der Winkel ist β≈arcsin⁡(275367⋅sin⁡(75∘))≈46∘\beta\approx\arcsin(\frac{275}{367}\cdot\sin(75^{\circ}))\approx46^{\circ}.

Exercise 7: Funkpeilstationen

Zwei Funkpeilstationen der Swisscom liegen 12.8 km12.8\,\mathrm{km} voneinander entfernt, wobei F1F_1 sich genau nördlich von F2F_2 befindet. Ein Piratensender wird von F1F_1 aus unter 284.4∘284.4^\circ und von F2F_2 aus unter 313.2∘313.2^\circ angepeilt; die Winkel werden von Osten aus im positiven Sinn gemessen. In welcher Entfernung von F1F_1 und F2F_2 liegt der Sender?

Solution

Vom Funkpeildreieck liest man alle Innenwinkel ab: 46.8∘46.8^{\circ}, 28.8∘28.8^{\circ} und 104.4∘104.4^{\circ}. Die Entfernung von F1F_{1} ist dann 12.8⋅sin⁡(104.4∘)sin⁡(28.8∘)≈25.7 km12.8\cdot\frac{\sin(104.4^{\circ})}{\sin(28.8^{\circ})}\approx25.7\,\mathrm{km} und F2=12.8⋅sin⁡(46.8∘)sin⁡(28.8∘)≈19.4 kmF_{2}=12.8\cdot\frac{\sin(46.8^{\circ})}{\sin(28.8^{\circ})}\approx19.4\,\mathrm{km}.