Arcsin, arccos und arctan

Betrachte ein rechtwinkliges Dreieck, bei dem wir den Bezugswinkel $\alpha$ kennen möchten, aber alles, was wir wissen, ist das Längenverhältnis $\frac{G}{H}$ . Zum Beispiel, nehmen wir an, dass $\frac{G}{H}=0.32$ . Können wir nun den Winkel $\alpha$ finden? Die Frage lautet also, für welchen Winkel $\alpha$ gilt

\sin(\alpha)=0.32

In der Tat ist dies mit dem Taschenrechner möglich. Wir benötigen die Funktion $\arcsin$ (gesprochen "Arkussinus") oder $\sin^{-1}$ (gesprochen "inverser Sinus"). Je nach Taschenrechner siehst man die eine oder die andere Notation. Dann haben wir

\sin(\alpha)=0.32 \rightarrow \alpha=\arcsin(0.32)=18.66^\circ

Wir können überprüfen, ob dies stimmt, indem wir $18.66^\circ$ in den Sinus einsetzen: $\sin(18.66^\circ)=0.32$ .

Ebenso können wir

mithilfe von $\arccos$ (gesprochen "Arkuskosinus") oder $\cos^{-1}$ (gesprochen "inverser Kosinus") den Winkel $\alpha$ finden, wenn wir das Längenverhältnis $A/H$ kennen
mithilfe von $\arctan$ (gesprochen "Arkustangens") oder $\tan^{-1}$ (gesprochen "inverser Tangens") den Winkel $\alpha$ finden, wenn wir das Längenverhältnis $G/A$ kennen.

Zusammengefasst haben wir

Definition 1

Bestimmung des Winkels bei gegebenen Seitenlängenverhältnissen:

\begin{array}{lll} \sin(\alpha) = \frac{G}{H}\text{ gegeben} &\rightarrow& \alpha=\arcsin(\frac{G}{H})\\[4pt] \cos(\alpha) = \frac{A}{H}\text{ gegeben} &\rightarrow& \alpha=\arccos(\frac{A}{H})\\[4pt] \tan(\alpha) = \frac{G}{A}\text{ gegeben} &\rightarrow& \alpha=\arctan(\frac{G}{A}) \end{array}

Exercise 1

Bestimme den Winkel $\alpha$ in den unten abgebildeten Dreiecken.

Solution

(d) $\tan(\alpha)=\frac{3}{4}=0.75 \rightarrow \alpha=\arctan(0.75)=36.86...^\circ$
(e) $\cos(\alpha)=\frac{4}{5}=0.8 \rightarrow \alpha=\arccos(0.8)=36.86...^\circ$
(f) Siehe die Abbildung unten. Es ist $h=10\cdot \sin(40^\circ)=6.428$ $u=10\cdot \cos(40^\circ)=7.66$ $v=20-u=12.34$ Somit haben wir $\tan(\alpha)=\frac{h}{v}=0.52$ und daher $\alpha=\arctan(0.52)=27.47^\circ$

Exercise 2

Bestimme alle Winkel und Seitenlängen.
Ein rechtwinkliges Dreieck hat eine Hypotenuse, die dreimal so lang ist wie die kleinere der beiden anderen Seiten. Bestimme die genauen Winkel.
Bestimme den Schnittwinkel zwischen dem Graphen der Funktion $f(x)=\frac{1}{2}x-1$ und der $x$ -Achse.

Solution

$\frac{G}{A}=\frac{3.3}{5.8}=0.569 \rightarrow \alpha=\arctan(0.569)=\underline{29.64^\circ}$ . Der andere Winkel ist $\beta=180^\circ-90^\circ-29.6^\circ=\underline{60.36^\circ}$ . Die längste Seite kann mit dem Satz des Pythagoras bestimmt werden: $H=\sqrt{3.3^2+5.8^2}=\underline{6.67}$ .
$\frac{G}{H}=\frac{x}{3x}=\frac{1}{3} \rightarrow \arcsin(\frac{1}{3})=\underline{19.47^\circ}$ . Der andere Winkel, der von $90^\circ$ verschieden ist, beträgt $90^\circ-19.47^\circ=\underline{70.53^\circ}$ .
Wir können ein rechtwinkliges Dreieck wie in der Abbildung unten auswählen, und es folgt $\frac{G}{A}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\rightarrow \alpha=\arctan(\frac{1}{2})=\underline{26.565^\circ}$