Lösungsmethoden

Die reinquadratische Gleichung

Definition 1: Reinquadratische Gleichung

Eine reinquadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form

x^2=c

wobei $c\in\R$ .

Theorem 1

Die reinquadratische Gleichung hat für $c<0$ keine Lösung, für $c=0$ die Lösung $x=0$ und für $c>0$ sind die Lösungen

x_1=\sqrt{c}\quad\text{und}\quad x_2=-\sqrt{c}.

Proof

Trivial, Einsetzübung.

Exercise 1: Reinquadratische Gleichungen

Löse die Gleichungen.

a) $3x^2=27$

b) $2x^2-7=0$

c) $\tfrac{1}{2}x^2-8=0$

d) $9x^2=\tfrac{1}{4}$

Solution

a) $3x^2=27 \;\Rightarrow\; x^2=9 \;\Rightarrow\; x=\pm 3.$

b) $2x^2=7 \;\Rightarrow\; x^2=\tfrac{7}{2} \;\Rightarrow\; x=\pm \sqrt{\tfrac{7}{2}}.$

c) $\tfrac{1}{2}x^2=8 \;\Rightarrow\; x^2=16 \;\Rightarrow\; x=\pm 4$ .

d) $9x^2=\tfrac{1}{4} \;\Rightarrow\; x^2=\tfrac{1}{36} \;\Rightarrow\; x=\pm \tfrac{1}{6}.$

Exercise 2: Quadrat

Bestimme alle Lösungen der Gleichung $x^2=-1$ .

Solution

Es gibt keine reelle Zahl, die quadriert negativ ist. Daher hat diese Gleichung keine Lösung.

Exercise 3: Reinquadratische Gleichung

Gib je ein Beispiel einer reinquadratischen Gleichung an, die keine Lösung bzw. zwei Lösungen hat.

Solution

$x^2=-1$ hat keine und $x^2=1$ hat die Lösungen $1$ und $-1$ .

Die allgemeine quadratische Gleichung

Definition 2: Quadratische Gleichung

Eine Gleichung heisst quadratisch, wenn wir sie in der Form

ax^2+bx+c=0

schreiben können, wobei $a,b,c\in\R$ und $a\neq 0$ ist.

Al-Chwarizmi zeigt seinen Lesern mittels eines geometrischen Beweises – er hatte ja noch keine Buchstabenrechnung –, dass die Methode der quadratischen Ergänzung richtig ist. Vielleicht helfen diese Gedanken auch zu einem besseren Verständnis dieses Verfahrens. Er schreibt:

Wir gehen aus vom Quadrat ABCD, dessen Flächeninhalt gleich der gesuchten Quadratzahl $x^2$ ist. Unser nächstes Anliegen ist es, ihm eine Fläche vom Inhalt 10-mal der gesuchten Zahl, also $10x$ , hinzuzufügen. Zu diesem Zweck halbieren wir die 10, das ergibt 5, und konstruieren an zwei Seiten des Quadrats ABCD zwei Rechtecke, nämlich CBGH und DCFE, und zwar so, dass jeweils die Längsseite 5 misst – das ist die Hälfte des Koeffizienten 10 von $x$ –, wohingegen die Breite jeweils gleich der Quadratseite $x$ ist. Dabei entsteht an der Ecke C ein Quadrat, nämlich FCHI. Dessen Inhalt ist 5 mit sich multipliziert: Diese 5 ist die Hälfte des Koeffizienten der Unbekannten $x$ , die wir an jeder Seite des Ausgangsquadrats als Strecken BG und DE angefügt haben.

Jetzt kann gesagt werden, dass das erste Quadrat mit dem Inhalt $x^2$ und die zwei Rechtecke an seinen Seiten, die zusammen $10x$ haben, insgesamt 56 ausmachen. Um nun zum grossen Quadrat AGIE vervollständigen zu können, fehlt nur noch die Quadratzahl, die aus 5 mit sich multipliziert entsteht, also 25. Diese addieren wir zu 56 und haben damit zum grossen Quadrat AGIE ergänzt. Als Summe erhalten wir 81. Wir ziehen die Wurzel, das ergibt 9, und das ist die Seite des grossen Quadrats. Ziehen wir davon dasselbe ab, was wir vorher hinzugezählt haben, nämlich 5, dann erhalten wir als Rest 4. Dies ist die Seite des Quadrats ABCD, die gesucht wurde.

Exercise 4: Quadratische Gleichungen durch Faktorisieren lösen

Löse durch Faktorisieren.

a) $x^2 - 5x + 6 = 0$

b) $z^2 + 6z + 8 = 0$

c) $y^2 + y - 20 = 0$

d) $\mu^2 - 5\mu - 24 = 0$

Solution

a) $(x-2)(x-3) = 0 \Rightarrow L=\{2; 3\}$

b) $(z+2)(z+4) = 0 \Rightarrow L=\{-4; -2\}$

c) $(y+5)(y-4) = 0 \Rightarrow L=\{-5; 4\}$

d) $(\mu-8)(\mu+3) = 0 \Rightarrow L=\{-3; 8\}$

Exercise 5: 🧩 Quadratisch ergänzen

a) Skizziere ein Quadrat mit Seitenlänge $x+5$ und in seiner Fläche die Teilflächen $x^2$ , $5x$ und $25$ .

b) Löse die Gleichung $x^2+10x=56$ mit quadratischem Ergänzen.

Solution

\begin{align*} x^2+10x &= 56 \\ x^2+2\cdot\frac{10}{2}\cdot x &= 56 \\ x^2+2\cdot(5x)+25 &= 56+25 \\ (x+5)^2 &= 81 \\ x+5 &= \pm 9 \\ x_{1,2} &= -5\pm 9 \end{align*}

Also $x_1=4$ und $x_2=-14$ .

Exercise 6: 🧩 Quadratische Ergänzung

Ergänze zum Quadrat.

a) $x^2 + 4x$

b) $x^2 - 8x$

c) $x^2 - 24x$

d) $x^2 - 0.6x$

e) $x^2 + 1.8x$

f) $x^2 - 0.5x$

g) $x^2 + 1.3x$

h) $x^2 + \frac{5}{8}x$

i) $x^2 - \frac{9}{4}x$

Solution

a) $x^2+4x+4 = (x+2)^2$

b) $x^2-8x+16 = (x-4)^2$

c) $x^2-24x+144 = (x-12)^2$

d) $x^2-0.6x+0.09 = (x-0.3)^2$

e) $x^2+1.8x+0.81 = (x+0.9)^2$

f) $x^2-0.5x+0.0625 = (x-0.25)^2$

g) $x^2+1.3x+0.4225 = (x+0.65)^2$

h) $x^2+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256} = (x+\frac{5}{16})^2$

i) $x^2-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64} = (x-\frac{9}{8})^2$

Exercise 7: 🧩 Lösen mit quadratischer Ergänzung

Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen mithilfe der quadratischen Ergänzung.

a) $x^2 - 8x + 12 = 0$

b) $x^2 + 6x + 9 = 0$

c) $x^2 + 4x + 7 = 0$

Solution

x^2 - 8x + 12 = 0 \quad | -12

x^2 - 8x = -12 \quad | + \left(\frac{8}{2}\right)^2 = +16

x^2 - 8x + 16 = -12 + 16

(x - 4)^2 = 4 \quad | \sqrt{\phantom{x}}

x - 4 = \pm 2

x_1 = 4 + 2 = 6 \quad \lor \quad x_2 = 4 - 2 = 2

L = \{2; 6\}

x^2 + 6x + 9 = 0

(x+3)^2 = 0 \quad | \sqrt{\phantom{x}}

x+3 = 0 \quad | -3

x = -3

L = \{-3\}

x^2 + 4x + 7 = 0 \quad | -7

x^2 + 4x = -7 \quad | + \left(\frac{4}{2}\right)^2 = +4

x^2 + 4x + 4 = -7 + 4

(x + 2)^2 = -3

Da ein Quadrat in den reellen Zahlen nicht negativ sein kann, hat die Gleichung keine Lösung.

L = \emptyset

Theorem 2: Lösungsformel der quadratischen Gleichung

Die quadratische Gleichung $ax^2+bx+c=0$ hat die Lösungen

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.

Die Anzahl der Lösungen hängt vom Term unter der Wurzel ab.

Proof

Wir benutzen die quadratische Ergänzung. Sei $ax^2+bx+c=0$ mit $a,b,c\in\R$ eine quadratische Gleichung, also zusätzlich $a\neq 0$ . Es gilt:

\begin{align*} ax^2+bx+c &= 0 \tag{$\div a$} \\ x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} &= 0 \tag{ergänzen} \\ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a} &= 0 \tag{$+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}$} \\ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 &= \frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a} \tag{$\sqrt{\phantom{x}}$} \\ x+\frac{b}{2a} &= \pm\sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}} \tag{$-\frac{b}{2a}$} \\ x &= -\frac{b}{2a}\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} \tag{TU} \\ x &= \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{align*}

Definition 3: Diskriminante

In der Lösungsformel für quadratische Gleichungen nennen wir den Term unter der Wurzel, $D:=b^2-4ac$ , Diskriminante.

Theorem 3

Die quadratische Gleichung $ax^2+bx+c=0$ hat

zwei Lösungen, falls $D>0$
eine Lösung, falls $D=0$
keine Lösung, falls $D<0$

Proof

Aus der Lösungsformel folgt unmittelbar die Behauptung.

Exercise 8: Koeffizienten ablesen

Bringe die Gleichung

7x^2=-(33x-36)

in die Form $ax^2+bx+c=0$ und bestimme die Koeffizienten $a$ , $b$ und $c$ .

Solution

Es folgt unmittelbar $7x^2+33x-36=0$ , und offensichtlich ist $a=7$ , $b=33$ und $c=-36$ .

Exercise 9: Quadratische Gleichung lösen

Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung

7x^2+33x-36=0

Solution

x_{1,2}=\frac{-33\pm\sqrt{33^2-4\cdot 7\cdot (-36)}}{14}=\frac{-33\pm\sqrt{1089+1008}}{14}=\frac{-33\pm\sqrt{2097}}{14}

$x_1\approx 0.91$ und $x_2\approx -5.63$

Es ist oft von Vorteil, die Lösung ungerundet anzugeben.

Note 1

Zur Kontrolle sollte die Lösung immer in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt werden.

Exercise 10: Quadratische Gleichung lösen II

Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung

x^2-2x+1=0

Solution

Das ist das zweite Binom: $(x-1)^2=0\Leftrightarrow x=1$ .

Exercise 11: Quadratische Gleichung lösen III

Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung

3x^2-2x+1=0

Solution

$x_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{4-12}}{6}$ hat keine Lösung, da die Diskriminante kleiner als 0 ist.

Exercise 12: Quadratische Gleichung lösen IV

Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung

x^2-2x-15=0

Solution

Wir können faktorisieren, $(x-5)(x+3)=0$ , und daher die Lösungen direkt ablesen: $x_1=5$ und $x_2=-3$ .

Exercise 13: Quadratische Gleichung mit Parameter

Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung

x^2+2ex-3e^2=0

Solution

Mit Faktorisieren oder $x_{1,2}=\frac{-2e\pm\sqrt{4e^2+12e^2}}{2}=\frac{-2e\pm\sqrt{16e^2}}{2}=\frac{-2e\pm 4e}{2}$ , also $x_1=e$ und $x_2=-3e$ .

Exercise 14: Quadratische Gleichung mit Parameter II

Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung

x^2-4x+3+2a-a^2=0

Solution

$x_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt{16-4(3+2a-a^2)}}{2}=\frac{4\pm\sqrt{16-12-8a+4a^2}}{2}=\frac{4\pm\sqrt{4a^2-8a+4}}{2}=\frac{4\pm 2\sqrt{a^2-2a+1}}{2}=\frac{4\pm 2\sqrt{(a-1)^2}}{2}=\frac{4\pm 2(a-1)}{2}=2\pm(a-1)$ , somit $x_1=1+a$ bzw. $x_2=3-a$ .

Der Satz von Viëta

Theorem 4: Satz von Viëta

Sind $x_1$ und $x_2$ Lösungen der Gleichung $x^2+px+q=0$ , so gilt:

x_1+x_2=-p\quad\text{und}\quad x_1\cdot x_2=q

Proof

Fast trivial: Wir berechnen $x_1+x_2$ und $x_1\cdot x_2$ und vergleichen dies mit der normierten Version $x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$ .

Theorem 5

Sind $x_1$ und $x_2$ die Lösungen der Gleichung $x^2+px+q=0$ , so lässt sich diese stets in Linearfaktoren zerlegen:

(x-x_1)(x-x_2)=0.

Proof

Die Gleichung $(x-x_1)(x-x_2)=0$ hat offensichtlich die Lösungen $x_1$ und $x_2$ .

Note 2

Dieser Satz eignet sich zum Kreieren von quadratischen Gleichungen mit vorgegebener Lösung und zum Lösen von quadratischen Gleichungen mit ganzzahligen Lösungen.

Exercise 15: Quadratische Gleichung mit Viëta

Löse mit Zerlegung in Linearfaktoren:

a) $x^2-8x+15=0$

b) $x^2+9x+18=0$

c) $18x^2-9x+1=0$

d) $x^2-(a+b)x+ab=0$

Solution

a) Gesucht sind zwei Zahlen mit Summe $8$ und Produkt $15$ : $3$ und $5$ .

x^2-8x+15=(x-3)(x-5)

$\Rightarrow x_1=3,\;x_2=5$

b) Gesucht sind zwei Zahlen mit Summe $-9$ und Produkt $18$ : $-3$ und $-6$ .

x^2+9x+18=(x+3)(x+6)

$\Rightarrow x_1=-3,\;x_2=-6$

c) Quadratische Gleichung: $18x^2-9x+1=0$ .
Diskriminante: $D=(-9)^2-4\cdot 18\cdot 1=81-72=9$ .

x=\frac{9\pm\sqrt{9}}{36}=\frac{9\pm 3}{36}

$\Rightarrow x_1=\tfrac{12}{36}=\tfrac{1}{3},\;x_2=\tfrac{6}{36}=\tfrac{1}{6}$
Also

18x^2-9x+1=18(x-\tfrac{1}{3})(x-\tfrac{1}{6})

d) Allgemein nach Viëta: Summe der Nullstellen $=a+b$ , Produkt $=ab$ .
Also sind die Nullstellen $a$ und $b$ .

x^2-(a+b)x+ab=(x-a)(x-b)

Exercise 16: Quadratische Gleichung kreieren

Gib eine quadratische Gleichung an, die folgende Lösungen hat:

a) $x_1=2$ und $x_2=3$

b) $x_1=\frac{1}{2}$ und $x_2=-\pi$

Solution

a) $(x-2)(x-3)=0$

b) $(x-\tfrac{1}{2})(x+\pi)=0$

Abschliessend wird noch eine Konsequenz aus dem Satz von Viëta erwähnt.

Theorem 6: Faktorisierungssatz

Sind $x_1$ und $x_2$ die Lösungen der Gleichung $ax^2+bx+c=0$ , dann gilt:

ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2).

Proof

Nach Viëta gilt $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ und $x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$ . Es folgt

\begin{align*} a(x-x_1)(x-x_2) &= ax^2-a(x_1+x_2)x+ax_1x_2 \\ &= ax^2-a\left(-\frac{b}{a}\right)x+a\cdot\frac{c}{a} = ax^2+bx+c \end{align*}