Quadratische Funktionen

1. Die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion ist

   $$f(x)=ax^2+bx+c$$

   wobei $a, b$ und $c$ die Koeffizienten sind. Also zum Beispiel

   $$f(x)=2x^2-5x-3$$

   Hier ist $a=2, b=-5$ und $c=-3$. Die Funktionen $f(x)=x^2+2\sqrt{x}+1$ oder $f(x)=3x^2-\frac{2}{x}+1$ sind keine quadratischen Funktionen.

2. Der Graph hat eine $\cup$- oder eine $\cap$-Form und wird Parabel genannt. Der höchste Punkt (bei $\cap$) oder der tiefste Punkt (bei $\cup$) wird Scheitelpunkt genannt.

3. Die Normalform ist der Ausdruck

   $$f(x)= ax^2+bx+c$$

   Jede Normalform lässt sich auch mit der Scheitelpunktform ausdrücken:

   $$f(x)=A(x-v)^2+b$$

   wobei die Parameter $v$ und $b$ die Koordinaten des Scheitelpunkts sind: $S(v \mid b)$. In der Tat ist $f$ dort am höchsten ($\cap$-Form) oder am tiefsten ($\cup$-Form), wo der Ausdruck in der Klammer $(x-v)^2$ Null ist, was für $x=v$ der Fall ist. Die $y$-Koordinate des Scheitelpunkts ist dann $y=f(v)=b$. Der Parameter $A$ ist der Faktor, um den der Graph in $y$-Richtung gestreckt wird.

4. Die Methode quadratisches Ergänzen wird verwendet, um den Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion zu finden, die in der Normalform gegeben ist. Nur Terme der Form $x^2+bx$ oder $x^2-bx$ lassen sich quadratisch ergänzen:

   $$x^2+bx=(x+\text{Hälfte von } b)^2-(\text{Hälfte von } b)^2$$ $$x^2-bx=(x-\text{Hälfte von } b)^2-(\text{Hälfte von } b)^2$$

5. Die Mitternachtsformel kann verwendet werden, um die Gleichung $ax^2+bx+c=0$ zu lösen, beispielsweise um die Schnittstellen einer Parabel mit der $x$-Achse zu finden. Die Mitternachtsformel lautet:

   $$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

1. $f(x)=x^2-8x=(\underbrace{x-4}_{=0})^2-16$. Die Klammer ist $0$ für $x=4$, was die $x$-Koordinate des Scheitelpunkts darstellt. Die $y$-Koordinate des Scheitelpunkts ist deshalb $y=f(4)=-16$. Somit ist der Scheitelpunkt $S(4 \mid -16)$.
2. $f(x)=x^2+x=(x+0.5)^2-0.25, S(-0.5 \mid -0.25)$.
3. $f(x)=\underbrace{x^2+18x}_{=(x+9)^2-81}-4=(x+9)^2-85, S(-9 \mid -85)$.
4. $f(x)=3x^2+12x+8=3(\underbrace{x^2+4x}_{(x+2)^2-4})+8=3(x+2)^2-3\cdot 4+8=3(x+2)^2-4, S(-2 \mid -4)$.

1. Wertetabelle:

   $$\begin{array}{r|l} x & y=3x^2-6x+7\\\hline -1 & 16\\ 0 & 7\\ 1 & 4\\ 2 & 7\\ 3 & 16\\ \end{array}$$

   Der Graph ist unten angefügt.

2. $f(x)=3(\underbrace{x^2-2x}_{=(x-1)^2-1})+7=3(x-1)^2-3\cdot 1+7=3(x-1)^2+4$

3. Aus der Scheitelpunktform folgt, dass der Scheitelpunkt die Koordinaten $S(1 \mid 4)$ besitzt.

4. Die Nullstellen liegen dort, wo der Output von $f$ Null ist. Aus dem Graphen folgt, dass dies nirgends der Fall ist (Scheitelpunkt bei $y=4$, nach oben geöffnet). Die Gleichung $3x^2-6x+7=0$ liefert unter der Wurzel einen negativen Wert.

5. Gesucht ist $x$ mit $f(x)=4$, also die Lösung der Gleichung $3x^2-6x+7=4$. Dies ist exakt der Scheitelpunkt bei $x=1$. (Hinweis: Im Original-Lösungstext wurde die Höhe 5 berechnet: $x_{1,2}=\frac{6\pm \sqrt{12}}{6}$, was $x_1 \approx 0.42$ und $x_2 \approx 1.58$ ergibt).

   

1. Der Scheitelpunkt liegt bei $S(-1 \mid 8)$. Da $A=-2$, ist die Parabel nach unten geöffnet und gestreckt.

2. $f(x)=-2(x+1)^2+8=-2(x^2+2x+1)+8=-2x^2-4x-2+8=-2x^2-4x+6$

3. Dies ist der Scheitelpunkt $S(-1 \mid 8)$.

4. $y$-Achse: $y=f(0)=6$. $x$-Achse: $-2x^2-4x+6=0$.

   $$x_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt{16-4\cdot (-2)\cdot 6}}{-4}=\frac{4\pm 8}{-4}$$

   Somit ergeben sich $x_1=-3$ und $x_2=1$.

5. $f(5)=-2(5+1)^2+8 = -2(36)+8 = -72+8 = -64$. Da $-64 \neq -65$, liegt der Punkt nicht auf dem Graphen.

6. Gesucht ist $x$ mit $-2x^2-4x+6=3$, also $-2x^2-4x+3=0$:

   $$x_{1,2}=\frac{4\pm \sqrt{40}}{-4}$$

   Daraus folgt $x_1 \approx -2.5811$ und $x_2 \approx 0.5811$.

1. Die $x$-Koordinate des Scheitelpunkts liegt mittig zwischen 4 und 10, also bei $x=7$. Der Scheitelpunkt ist somit $S(7 \mid 8)$ und die Scheitelpunktform ist $f(x)=A(x-7)^2+8$. Da $f(4)=0$ (Nullstelle) ist, gilt $$A(4-7)^2+8=0 \rightarrow 9A=-8 \rightarrow A=-\frac{8}{9}$$ Die Scheitelpunktform lautet somit $$f(x)=-\frac{8}{9}(x-7)^2+8$$ Die Normalform erhalten wir durch Ausmultiplizieren: $$\begin{array}{lll} -\frac{8}{9}(x-7)^2+8&=&-\frac{8}{9}(x^2-14x+49)+8\\ &=&-\frac{8}{9}x^2+\frac{112}{9}x-\frac{320}{9} \end{array}$$
2. Wir müssen $x$ so finden, dass $$\begin{array}{llll} -\frac{8}{9}x^2+\frac{112}{9}x-\frac{320}{9}&=&\frac{2}{9}x-1 & \mid \cdot 9\\ -8x^2+112x-311&=&2x-9& \mid -2x, +9\\ -8x^2+110x-311=0 \end{array}$$ Mit der Mitternachtsformel und $a=-8, b=110, c=-311$ erhalten wir: $x_1\approx 3.978, x_2\approx 9.772$. Dies kann man mit der Mitternachtsformel ausrechnen, oder mit der Polysolve Funktion im Taschenrechner. Die $y$-Koordinatens sind $y_1=f(x_1)\approx -0.116, y_2=f(x_2)\approx 1.172$

Methode 1: mit der Scheitelpunktform:

1. Der Scheitelpunkt hat die x-Koordinate $x=1+8/2=5$, es ist also $p(x)=A(x-5)^2+b$
2. Da bei $x=1$ eine Nullstelle von $p$: $p(1)=0\rightarrow A(1-5)^2+b=16A+b=0$
3. Da Punkt $(3|3)$ auf dem Graph von $p$: $p(3)=3\rightarrow A(3-5)^2+b=4A+b=3$
4. Löse lineares Gleichungssystem: $$\left| \begin{array}{ll} 16A+b&=&0\\ 4A+b&=&3 \end{array} \right|$$ Es folgt $b=4, A=-0.25$, also $p(x)=-0.25(x-5)^2+3$
5. Multipliziere aus, um die Normalform zu erhalten: $p(x)=-0.25+2.5x-2.25$

Methode 2: mit Nullstellenansatz: Nutze aus, dass ein Polynom mit Grad 2 und Nullstellen $x_1$ und $x_2$ geschrieben werden kann als

In der Tat ist dies ein Polynom zweiten Grades mit den Nullstellen $x_1$ und $x_2$, wie leicht überprüft werden kann. Da bei uns $x_1=1$ und $x_2=9$, folgt also $p(x)=a(x-1)(x-9)$. Um den Faktor $a$ zu finden, muss ein weiterer Punkt auf dem Graphen eingefügt werden, hier also $(3|3)$:

Dann wiederum ausmultiplizieren, um die Normalform zu bekommen.