Partielle Integration

Wenn man sich mit komplexeren Funktionen bzw. Integranden konfrontiert sieht - insbesondere mit Produkten - dann kann folgendes Hilfsmittel zur Bestimmung des Integrals nützlich sein.

Theorem 1: Partielle Integration

Sind ff und gg differenzierbare Funktionen, so gilt

∫f′(x)g(x)=f(x)g(x)−∫f(x)g′(x)\int f'(x)g(x) = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x)
Proof

Für einen Beweis beachte man die Ähnlichkeit zur bereits bewiesenen Produktregel für Ableitungen.

Example 1

Wir bestimmen via partielle Integration eine Stammfunktion von h(x)=xcos⁡(x)h(x)=x\cos(x). Setzen wir beispielsweise cos⁡(x)=f′(x)\cos(x)=f'(x) und x=g(x)x=g(x), dann gilt f(x)=sin⁡(x)f(x)=\sin(x) und g′(x)=1g'(x)=1. Daraus folgt

∫xcos⁡(x)  dx=xsin⁡(x)−∫sin⁡(x)  dx=xsin⁡(x)−(−cos⁡(x))+c=xsin⁡(x)+cos⁡(x)+c.\begin{align*} \int x\cos(x)\;\mathrm{d}x &= x\sin(x)-\int\sin(x)\;\mathrm{d}x\\ &=x\sin(x)-(-\cos(x))+c\\ &=x\sin(x)+\cos(x)+c. \end{align*}

Man kontrolliert durch Ableiten der eben gewonnen Stammfunktion die Korrektheit.

Exercise 1: Partiell Sinus

Finde eine Stammfunktion von f(x)=xsin⁡(x)f(x)=x\sin(x), g(x)=sin⁡2(x)g(x)=\sin^2(x) und h(x)=sin⁡3(x)h(x)=\sin^3(x).

Solution

a) ∫xsin⁡(x) dx=−xcos⁡(x)−∫(−cos⁡(x)) dx=−xcos⁡(x)+sin⁡(x)+C\int x\sin(x)\,\mathrm{d}x = -x\cos(x) - \int (-\cos(x))\,\mathrm{d}x = -x\cos(x)+\sin(x) + C

b) ∫sin⁡(x)sin⁡(x) dx=−sin⁡(x)cos⁡(x)+∫(cos⁡(x))2 dx=−sin⁡(x)cos⁡(x)+∫(1−sin⁡2(x)) dx\int \sin(x)\sin(x)\,\mathrm{d}x = -\sin(x)\cos(x) + \int (\cos(x))^2\,\mathrm{d}x = -\sin(x)\cos(x) + \int (1-\sin^2(x))\,\mathrm{d}x. Also 2∫sin⁡(x)sin⁡(x) dx=−sin⁡(x)cos⁡(x)+∫1 dx=x−sin⁡(x)cos⁡(x)+C2\int \sin(x)\sin(x)\,\mathrm{d}x = -\sin(x)\cos(x) + \int 1\,\mathrm{d}x = x-\sin(x)\cos(x)+C, das man für das gesuchte Integral halbieren kann.

c) Ähnlich wie vorher kommt man schliesslich auf ∫sin⁡3(x)=−13(sin⁡2(x)cos⁡(x)+2cos⁡(x))+C\int\sin^3(x)=-\frac{1}{3}(\sin^2(x)\cos(x)+2\cos(x))+C.