Rotationsvolumen

Volumen als Grenzwert

Betrachtet man das Integral

\int_0^bx^2\;\mathrm{d}x,

und dazu Abbildung, so kann der Wert des Integrals unmittelbar als Masszahl für einen Flächeninhalt interpretiert werden.

Betrachtet man aber dasselbe Integral zusammen mit der zweiten Figur, so identifiziert man den Integranden $x^2$ mit dem Flächeninhalt eines Quadrates der Seitenlänge $|x|$ , also als vertikalen Querschnitt einer quadratischen Pyramide an der Stelle $x$ . Der Wert des Integrals erscheint jetzt als Volumen einer quadratischen Pyramide mit der Grundseite $b$ und der Höhe $b$ . Diese anschauliche Idee kann verallgemeinert werden, um das Volumen eines Körpers zu berechnen, der im $xyz$ -Koordinatensystem zwischen den parallelen Ebenen $x = a$ und $x = b$ liegt. Für jedes $x\in [a,b]$ sei die zugehörige Querschnittsfläche $Q(x)$ bekannt und die damit gebildete Funktion $Q:x\mapsto Q(x)$ im Intervall $[a,b]$ stetig. Mit dieser Funktion $Q$ als Integrand lässt sich das Volumen $V$ des Körpers berechnen:

V=\int_a^bQ(x)\;\mathrm{d}x.

proof

Offensichtlich ist $V(a) = 0$ und $V(b)$ der gesuchte Wert für das Volumen des Körpers. Analog zu der Berechnung eines Flächeninhaltes werden wir im folgenden zeigen, dass auch zwischen den Funktionen $V$ und $Q$ der wichtige Zusammenhang

V'(x) = Q(x)

besteht. Das Volumen einer Scheibe lässt sich also durch

V(x+h) - V(x)

angeben.

Im Intervall $[x,x+h]$ wird die Querschnittsfunktion $Q$ wegen ihrer Stetigkeit ein Minimum $Q_{min}$ und ein Maximum $Q_{max}$ annehmen. Auf diesen beiden Querschnittsflächen denkt man sich zwei Zylinder mit der Länge (Höhe) $h$ , so dass sicher gilt:

Q_{min}\cdot h \leq V(x+h) - V(x) \leq Q_{max}\cdot h

und nach Division durch $h$

Q_{min} \leq \frac{V(x+h) - V(x)}{h} \leq Q_{max}.

Wegen der vorausgesetzten Stetigkeit von $Q$ ist

\lim_{h\to0} Q_{min} = \lim_{h\to0} Q_{max} = Q(x).

Demnach existiert der Grenzwert

\lim_{h\to0}\frac{V(x+h) - V(x)}{h}

und sein Wert stimmt mit $Q(x)$ überein. Mit anderen Worten: $V'(x) = Q(x)$ . Die Funktion $V$ ist also eine Stammfunktion von $Q$ . Schliesslich gilt wegen $V(a) = 0$ für das gesuchte Volumen

V = V(b) = V(b) - V(a) = V(x)|_a^b= \int_a^bQ(x)\;\mathrm{d}x.

Exercise 1: Zylindervolumen

Ein Zylinder (Grundkreisradius $r$ , Höhe $h$ ) liegt so im Koordinatensystem, dass die $x$ -Achse zu seiner Mittelachse wird. Ermittle die Querschnittsfunktion $Q(x)$ und bestätige dann die Zylinderformel aus der Stereometrie.

Solution

Der Kegelrand ist eine Gerade mit Steigung $\frac{r}{h}$ , also der Radius an der Stelle $x$ ist $r_x=\frac{r}{h}x$ und $Q(x)=\pi\left(\frac{r}{h}x\right)^2$ .

\int_0^h\pi\left(\frac{r}{h}x\right)^2\,\mathrm{d}x=\frac{h\pi}{3r}\left(\frac{r}{h}x\right)^3|_0^h=\frac{h\pi}{3r}\left(\frac{r}{h}\cdot h\right)^3-0=\frac{1}{3}\pi r^2h

Exercise 2: Kugelvolumen

Der Ursprung des Koordinatensystems sei der Mittelpunkt einer Kugel mit dem Radius $r$ . Zeige, dass $Q(x) = \pi(r^2 - x^2)$ und bestätige dann die Formel aus der Stereometrie.

Solution

Seien $-r\leq x\leq r$ und $y\geq0$ . Alle Punkte $P(x|y)$ auf dem Kreisrand haben die Distanz $r$ . Daher gilt $r=\sqrt{x^2+y^2}$ , woraus $y=f(x)=\sqrt{r^2-x^2}$ folgt. Für eine Kugelscheibe an der Stelle $x$ ist $Q(x)=\pi(\sqrt{r^2-x^2})^2=\pi(r^2-x^2)$ . Statt von $-r$ bis $r$ integrieren wir von $0$ bis $r$ und verdoppeln:

2\int_0^r \pi(r^2-x^2)\,\mathrm{d}x=2(-\frac{\pi}{3}x^3+\pi r^2x)|_0^r=-2\frac{\pi}{3}r^3+2\pi r^2r-0 = \frac{4}{3}\pi r^3.

Rotationsvolumen

Der Graph einer im Intervall $[a,b]$ stetigen Funktion $f$ mit $f(x)\geq0$ für alle $x\in [a,b]$ rotiere um die $x$ -Achse. Die Querschnittsfläche an der Stelle $x$ des so entstehenden Rotationskörpers ist inhaltsgleich mit der Fläche eines Kreises mit Radius $f(x)$ :

Q(x)=\pi\left[f(x)\right]^2.

Für das Volumen des Rotationskörpers gilt demnach:

V(x)=\pi\int_a^b\left[f(x)\right]^2\;\mathrm{d}x.

Exercise 3: RotV

Berechne das Volumen

a) eines senkrechten Kreiskegels mit dem Grundkreisradius $r$ und der Höhe $h$ ,

b) eines Kegelstumpfes mit den Radien $R$ und $r$ und der Höhe $h$ ,

c) einer Kugel mit dem Radius $r$ ,

d) eines Kugelsegmentes mit dem Kugelradius $R$ und der Höhe $h$ .

Solution

a) $V_{rot}=\pi\int_0^h [\frac{r}{h}x]^2\,\mathrm{d}x = \pi(\frac{h}{r}\cdot\frac{1}{3}\left(\frac{r}{h}x\right)^3|_0^h=\frac{\pi}{3}r^2h$ .

b) $V=\pi\left(\frac{(r-R)^2}{3}h+Rrh\right)$

c) $\frac{4}{3}\pi r^3$

d) $2\pi\left(\frac{2}{3}R^3 -R^2h+\frac{1}{3}h^3\right)$

Exercise 4: Hyperbelrotation

Zeichne in einem Koordinatensystem die Hyperbel mit der Gleichung $y=\frac{1}{x}$ . Die durch die $x$ -Achse, die Geraden mit den Gleichungen $x = 1$ sowie $x = b$ mit $b>1$ und die Hyperbel begrenzte Fläche rotiere um die $x$ -Achse. Berechne das Volumen $V(b)$ des Rotationskörpers. Gegen welchen Wert strebt $V(b)$ für $b\to\infty$ ?

Solution

$V=\pi\int_1^b \frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x = \pi(1-\frac{1}{b})$ , was gegen $\pi$ strebt, wenn $b$ gross wird.

Exercise 5: Rollt das Fass rein!

Ein Fass wird sehr gut durch ein zwischen zwei Grenzen um die $x$ -Achse rotierendes Parabelstück beschrieben. Dabei hat die Parabel die Gleichung $y = - ax^2+b$ . Ein Fass hat die Länge (Höhe) $1\,\mathrm{m}$ ; der Durchmesser der Boden- bzw. Deckfläche beträgt $60\,\mathrm{cm}$ und ihr grösster Durchmesser $80\,\mathrm{cm}$ . Berechne den Rauminhalt des Fasses.

Solution

Die Randfunktion bestimmen wir zu $f(x)=-\frac{2}{5}x^2+\frac{2}{5}$ . Daraus folgt $V=0.122\pi\approx383\,\mathrm{l}$ .

Exercise 6: Stromlinienförmig

Die Randfunktion eines Stromlinienkörpers wird durch die Gleichung

f(x)=\frac{1}{4}(4-x)\sqrt{x}.

zwischen $x = 0$ und $x = 4$ erfasst. Skizziere den Körper, berechne seinen grössten Durchmesser und sein Volumen.

Solution

Den Extremwert von $f$ finden wir durch Ableiten und $0$ setzen:

f'(x)=\frac{1}{4}(-\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt{x}}-‡rac{\sqrt{x}}{2})\stackrel{!}{=}0.

Daraus folgt $x=\frac{4}{3}$ und für den Durchmesser $D=2f(\frac{4}{3})\approx1.5$ .

Das Volumen ist $V\approx4.19$ . Stromlinienkörper kommentiert

Exercise 7: Spindelförmig

a) Durch Drehung der Sinuskurve $y = \sin x$ zwischen $x = 0$ und $x = \pi$ um die $x$ -Achse entsteht ein spindelförmiger Körper, dessen Volumen zu berechnen ist.

b) Der Graph der Funktion

f(x)=1+\sin(x)\quad(0<x<\frac{3\pi}{2})

schliesst mit den Koordinatenachsen ein Flächenstück ein, das um die $x$ -Achse rotiert. Berechne das Volumen dieser "Zwiebelhaube".

Solution

a) $V=\frac{\pi^2}{2}$

b) $V=2\pi+\frac{9\pi^2}{4}$ .