Natürliche Zahlen

Note 1: Hinweise zum Skript

Die meisten Übungen sind zur Selbstkontrolle geeignet. Zu fast allen Aufgaben gibt es zusätzliche Notizen (graues Augensymbol).
Mit 🧩 gekennzeichnete Aufgaben sind eher anspruchsvoll.
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Die angegebenen Links verweisen meist auf Video-Kommentare zu den jeweiligen Abschnitten.
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Legen wir also los mit den natürlichen Zahlen.

Historisches

Alles ist Zahl.

Diese Aussage stammt von Pythagoras, dem berühmten griechischen Mathematiker und Philosophen, der um $550$ v. Chr. lebte. Auf Anraten von Thales ( $624$ – $546$ v. Chr.) soll er in jungen Jahren eine längere Studienreise nach Ägypten unternommen haben, um dort die vorhandenen Wissensschätze kennenzulernen. Nach Pythagoras sollte das menschliche Leben geordnet und harmonisch verlaufen – so, wie es die Zahlenverhältnisse in der Natur offenbaren. Dieses Verständnis verdichtet sich in seinem Ausspruch „Alles ist Zahl“: Er betrachtete die Zahlen als eine die gesamte Natur konstituierende Kraft.

Die Menge der natürlichen Zahlen

Note 2

Die natürlichen Zahlen

\mathbb{N}:=\{1,2,3,4,\ldots\}

sind die beim Zählen seit jeher verwendeten Zahlen. Mit ihnen kann man eine Menge durchnummerieren. Die natürlichen Zahlen haben einen Anfang, nämlich die $1$ , aber kein Ende. Das Symbol für die Unendlichkeit lautet

\infty

Die Null wird hier nicht zu den natürlichen Zahlen gezählt. Schließt man sie jedoch ein, so schreibt man $\mathbb{N}_0$ .

Note 3

Auf $\mathbb{N}$ sind die Grundoperationen Addition und Multiplikation abgeschlossen, d. h. auch das Ergebnis liegt stets wieder in $\mathbb{N}$ .

Note 4

Zur Veranschaulichung der natürlichen Zahlen eignet sich der Zahlenstrahl.

Eine saubere Fundierung der natürlichen Zahlen gelang im 19.Jahrhundert. Ein bedeutender Beitrag dazu stammte von Georg Cantor, dem die Einbindung des Unendlichen, $\infty$ , gelang. Er schuf mit der Mengenlehre ein Fundament, in dem einerseits die natürlichen Zahlen sicher eingebettet sind, aber auch der Begriff des Unendlichen nicht mit ihnen in Widerspruch gerät.

Exercise 1: Axiome von Peano

Die Axiome der natürlichen Zahlenmenge von Giuseppe Peano (1889) lauten wie folgt:

$1$ ist eine natürliche Zahl.
Jede natürliche Zahl $n$ hat eine natürliche Zahl $n'$ als Nachfolger.
$1$ ist kein Nachfolger einer natürlichen Zahl.
Natürliche Zahlen mit gleichem Nachfolger sind gleich.
Enthält eine Menge $\mathbb{M}$ die Zahl $1$ und mit jeder natürlichen Zahl $n$ auch stets deren Nachfolger $n'$ , so enthält $\mathbb{M}$ bereits alle natürlichen Zahlen. (Ist $\mathbb{M}$ dabei selbst eine Teilmenge der natürlichen Zahlen, dann ist $\mathbb{M}$ gleich der Menge der natürlichen Zahlen.)

Überzeuge dich davon, dass keines der fünf Axiome weggelassen werden darf und lass dabei Axiom $5$ unberührt.

Was passiert, wenn man eines der ersten vier Axiome weg lässt? Gib Beispiele an.

Solution

Lässt man beispielsweise 1 weg, so fehlt die ausgezeichnete Startzahl, von der aus die Konstruktion überhaupt beginnt. Damit kann die gesamte Nachfolgerstruktur nicht in Gang gesetzt werden.

Fehlt Axiom 2, so hätte nicht jede natürliche Zahl einen Nachfolger. Damit wäre es nicht möglich, alle (unendlich vielen) natürlichen Zahlen zu erzeugen. Beispielsweise wäre $\mathbb{N}=\{1,2,3\}$ möglich.

Fehlt Axiom 3, so könnte man einen Zyklus bilden, indem man beispielsweise $1$ als Nachfolger der $2$ nimmt: $1,2,1,2,1,2,\dots$ . Damit gäbe es keine wohldefinierte Abfolge von Zahlen.

Verzichtet man auf Axiom $4$ , dann wäre es denkbar, dass zwei verschiedene natürliche Zahlen $n\neq m$ den gleichen Nachfolger hätten. Zum Beispiel: $1,3,2,3,2\dots$ .

Mit von Neumanns Konstruktion bekommt man ein konkretes Modell der Peano-Axiome in der Mengenlehre.

Exercise 2: N_0 nach von Neumann

John von Neumann definierte die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}_0$ , wobei wir hier die Null dazu zählen, auf mengentheoretischer Basis rekursiv wie folgt. Man beginnt mit der leeren Menge, $\{\;\}$ . Die folgende Menge bestehe aus der Menge, die alle vorangegangenen Mengen als Elemente enthält. Formaler: Der Nachfolger der Menge $\mathbb{M}$ ist

\mathbb{M}'=\mathbb{M}\cup\{\mathbb{M}\}.

Fährt man so immer fort, kriegt man eine Liste der natürlichen Zahlen $\mathbb{N}_0$ . Nämlich, wenn man die Anzahl Elemente der entsprechenden Mengen $\mathbb{M}$ zählt, $\text{card}(\mathbb{M})$ .

Sei also $0:=\{\;\}$ . Wie schreibt sich dann die nächste natürliche Zahl $1$ ?

Solution

Die $1$ ist dann die Menge mit der $0=\{\;\}$ , also $1=\{\{\;\}\}$ . Beachte, dass die leere Menge kein Element enthält, jedoch die $1$ die leere Menge enthält, also ein Element.

Note 5

Mit dieser Konstruktion ist also eine natürliche Zahl gegeben durch

n = \{0,1,2,3,\dots,n-1\}.

Daraus ergibt sich auch, dass die Relation " $\in$ " die Ordnungsrelation " $<$ " verkörpert.

Example 1

2 = \{0,1\} = \{\emptyset,\{\emptyset\}\}

und daher $\emptyset\in2$ und $\{\emptyset\}\in2$ ; geschenkt nun $0<2$ und $1<2$ .