Arithmetische und geometrische Folgen

Es gibt viele interessante Folgen, wir werden uns hier aber nur auf zwei beschränken und genauer diskutieren.

Definition 1

Gegeben sei eine Folge

(an)=(a1,a2,a3,a4,...,an,an+1,...)(a_n)=(a_1,a_2, a_3, a_4, ..., a_n, a_{n+1}, ...)
  1. (an)(a_n) wird arithmetische Folge genannt, falls von einem Glied zum anderen immer die gleiche Zahl dd addiert wird: a1→+da2→+d...→+dan→+dan+1...\begin{array}{lll} a_1 \xrightarrow[]{+d} a_2 \xrightarrow[]{+d} ... \xrightarrow[]{+d} a_n \xrightarrow[]{+d} a_{n+1} ...\end{array} Die rekursive Bildungsformel ist also an+1⏟neu=an⏟alt+d\underbrace{a_{n+1}}_{neu}=\underbrace{a_n}_{alt}+d Die Zahl dd wird gemeinsame Differenz genannt, da die Differenz zwischen aufeinander folgenden Glieder immer dd ist: d=an+1−and=a_{n+1}-a_n.
  2. (an)(a_n) wird geometrische Folge genannt, falls von einem Glied zum anderen immer der gleiche Faktor qq multipliziert wird: a1→⋅qa2→⋅q...→⋅qan→⋅qan+1...\begin{array}{lll} a_1 \xrightarrow[]{\cdot q} a_2 \xrightarrow[]{\cdot q} ... \xrightarrow[]{\cdot q} a_n \xrightarrow[]{\cdot q} a_{n+1} ...\end{array} Die rekursive Bildungsformel ist also an+1⏟neu=an⏟alt⋅q\underbrace{a_{n+1}}_{neu}=\underbrace{a_n}_{alt}\cdot q Die Zahl qq wird gemeinsamer Quotient genannt, da der Quotient zwischen aufeinander folgenden Glieder immer qq ist: q=an+1anq=\frac{a_{n+1}}{a_n}.
Example 1

Betrachte die vier Folgen vom ersten Kapitel (unten nochmals angegeben, nun in der richtigen Notation). Bestimme für jede dieser Folgen, ob es eine arithmetische oder geometrische Folge ist, und bestimme dann auch die gemeinsame Differenz dd oder den gemeinsamen Quotienten qq.

  1. (an)=(1,3,5,...)(a_n)=(1,3,5,...)

  2. (bn)=(1,0.5,0.25,0.125,...)(b_n)=(1, 0.5, 0.25, 0.125, ...)

  3. (cn)=(1,−1,1,−1,...)(c_n)=(1,-1,1,-1,...)

  4. (dn)=(1,2,4,8,...)(d_n)=(1,2,4,8,...)

Solution
  1. arithmetisch, d=a2−a1=3−1=2d=a_2-a_1=3-1=2
  2. geometrisch, q=a2a1=0.51=0.5q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{0.5}{1}=0.5
  3. geometrisch, q=a2a1=−11=−1q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{-1}{1}=-1
  4. geometrisch, q=a2a1=21=2q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{2}{1}=2

Wir haben die arithmetische und geometrische Folge mit Hilfe der rekursiven Bildungsformel definiert. Wir können den Wert des nn-ten Glieds aber auch mit Hilfe der expliziten Formel ausdrücken:

Theorem 1

  1. Gegeben sei eine arithmetische Folge aa mit Anfangswert a1a_1 und gemeinsamer Differenz dd. Das nn-te Glied der Folge ist dann

    an=a1+(n−1)⋅d(n=1,2,3,...)a_{n}=a_1+(n-1)\cdot d\quad (n=1,2,3,...)

  2. Gegeben sei eine geometrische Folge aa mit Anfangswert a1a_1 und gemeinsamen Quotient qq. Das nn-te Glied der Folge ist dann

    an=a1⋅qn−1(n=1,2,3,...)a_{n}=a_1\cdot q^{n-1}\quad (n=1,2,3,...)
Proof

Dies ist leicht einsehbar. Für die arithmetischen Folge haben wir

a2=a1+da3=a2+d=a1+2da4=a3+d=a1+3d...an=a1+(n−1)d\begin{array}{lll} a_2&=&a_1+d\\ a_3&=&a_2+d=a_1+2d\\ a_4&=&a_3+d=a_1+3d\\ ... & &\\ a_n&=& a_1+(n-1)d\\ \end{array}

und für die geometrische Folge gilt

a2=a1⋅qa3=a2⋅q=a1⋅q2a4=a3⋅q=a1⋅q3...an=a1⋅qn−1\begin{array}{lll} a_2&=&a_1\cdot q\\ a_3&=&a_2\cdot q=a_1\cdot q^2\\ a_4&=&a_3\cdot q=a_1\cdot q^3\\ ... & &\\ a_n&=& a_1\cdot q^{n-1}\\ \end{array}
Example 2

Gegeben ist die Folge

(an)=(3,3.3,...)(a_n)=(3,3.3,...)

Bestimme das 2020-te Glied falls (an)(a_n) eine

  1. arithmetische Folge ist.

  2. geometrische Folge ist.

Solution
  1. d=a2−a1=0.3d=a_2-a_1=0.3, also a20=3+0.3⋅19=8.7‾a_{20}=3+0.3\cdot 19=\underline{8.7}
  2. q=a2a1=1.1q=\frac{a_2}{a_1}=1.1, also a20=3⋅1.119=18.3477...‾a_{20}=3\cdot 1.1^{19}=\underline{18.3477...}