Reihen

Wir betrachten die folgende Zahlenfolge (ungerade Zahlen):

1, 3, 5, \dots

Was ist die Summe der ersten drei Glieder? Das ist $1+3+5=9$ . Was aber ist die Summe der ersten $10\,000$ Glieder? Dies ist schon schwieriger zu beantworten. Gibt es eine Formel, mit der wir diese Summe bestimmen können? Diese Frage führt zu den sogenannten Reihen.

Definition 1

Gegeben sei eine Folge $a$ :

(a_n) = (a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots)

Basierend auf dieser Folge lässt sich eine neue Folge $s$ bilden:

(s_n) = (s_1, s_2, s_3, \dots, s_n, \dots)

Dies ist die sogenannte Reihe (der Folge $a$ ). Dabei ist das $n$ -te Reihenglied $s_n$ definiert als die Summe der ersten $n$ Glieder von $a$ :

\begin{array}{lll} s_1 &=& a_1 \\ s_2 &=& a_1+a_2 \\ s_3 &=& a_1+a_2+a_3 \\ \dots & & \\ s_n &=& a_1+a_2+a_3+\dots+a_n \\ \end{array}

Example 1

Bestimme das dritte Reihenglied $s_3$ der Folge $(a_n) = 1, 1.2, 1.4, 1.5, \dots$ .

Solution

$s_3 = 1+1.2+1.4 = 3.6$

Extra: Sigma-Notation

Um lange Ausdrücke wie

s_n = a_1+a_2+a_3+\dots+a_n

zu vermeiden, wurde eine kompaktere Schreibweise eingeführt:

Definition 2

Gegeben sei eine Folge $a$ :

(a_n) = (a_1, a_2, a_3, \dots)

Die Sigma-Notation

\sum_{k=u}^{v} a_k

bedeutet: "Addiere die Glieder $a_k$ , wobei $k$ von $u$ bis $v$ geht", also $a_u+\dots+a_v$ . Das Symbol $\sum$ (griechisches S) steht für "Summe".

Hier sind ein paar Beispiele:

Example 2

\begin{array}{lll} \sum_{k=3}^5 a_k &=& a_3+a_4+a_5 \\[0.5em] \sum_{k=1}^1 a_k &=& a_1 \\[0.5em] \sum_{k=1}^2 a_k &=& a_1+a_2 \\ \end{array}

Wenn eine explizite Bildungsformel vorliegt, so lässt sich diese direkt in der Sigma-Notation verwenden. Ist zum Beispiel die Folge $a$ gegeben durch $a_k=k^2$ ( $k=1, 2, \dots$ ), so erhalten wir:

\sum_{k=1}^3 k^2 = 1^2+2^2+3^2 = 14

Exercise 1

Schreibe als Summe:

$\sum_{k=2}^4 (2k-1)$
$\sum_{i=1}^3 \frac{1}{i}$
$\sum_{w=6}^8 (3-w)$

Solution

$\sum_{k=2}^4 (2k-1) = 3+5+7$
$\sum_{i=1}^3 \frac{1}{i} = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$
$\sum_{w=6}^8 (3-w) = -3+(-4)+(-5) = -3-4-5$

Zurück zu den Reihen: Mit Hilfe der Sigma-Notation kann für das $n$ -te Glied geschrieben werden:

s_n = \sum_{k=1}^n a_k = a_1+\dots+a_n

Example 3

s_4 = \sum_{k=1}^4 a_k = a_1+a_2+a_3+a_4