Folgen

Eine Folge $a$ ist eine Liste von Zahlen $a_1, a_2, ...$ . Die Notation ist:

(a_n) = (a_1, a_2, a_3, ..., a_n, a_{n+1}, ... )

Die Zahlen $a_n$ $(n=1,2,...)$ werden Glieder genannt, wobei $a_1$ das erste Glied ist, $a_2$ das zweite, und $a_n$ das $n$ -te. Eine Formel, welche beschreibt wie das $n$ -te Glied der Formel direkt berechnet werden kann, heisst explizites Bildungsgesetz. Eine Formel, die beschreibt, wie man von einem Glied auf das nächste kommt, heisst rekursives Bildungsgesetz.

Die Klammern zeigen an, dass Folgen Tupel sind, so wie Koordinaten $(x\vert y\vert z)$ , daher die Reihenfolge der Zahlen ist wesentlich. Zur Erinnerung: Zahlen in geschweifte Klammern sind Mengen, daher die Reihenfolge ist nicht wichtig.

Exercise 1

Finde das explizite und das rekursive Bildungsgesetz für die Folgen:
1. $(a_n)=(1,3,5,...)$
2. $(b_n)=(1, 0.5, 0.25, 0.125, ...)$
3. $(c_n)=(1,-1,1,-1,...)$
4. $(d_n)=(1,2,4,8,...)$
Bestimme die ersten 3 Glieder der Folge
1. $a_n=3n$ ( $n=1,2,...$ )
2. $b_1=2, b_{n+1}=2b_n+1$ ( $n=1,2,3...$ )

Solution

Es ist
1. explizit: $a_n=2n-1\,\,(n=1,2,3,...)$ , rekursiv: $a_1=1, \underbrace{a_{n+1}}_{neu}=\underbrace{a_n}_{alt}+2 \,\,(n=1,2,3,...)$
2. explizit: $b_n=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\,\,(n=1,2,3,...)$ , rekursiv: $b_1=1, \underbrace{b_{n+1}}_{neu}=\frac{1}{2}\underbrace{b_n}_{alt} \,\,(n=1,2,3,...)$
3. explizit: $c_n=(-1)^{n-1}\,\,(n=1,2,3,...)$ , rekursiv: $c_1=1, \underbrace{c_{n+1}}_{neu}=-1\cdot \underbrace{c_n}_{alt} \,\,(n=1,2,3,...)$
4. explizit: $d_n=2^{n-1}\,\,(n=1,2,3,...)$ , rekursiv: $d_1=1, \underbrace{d_{n+1}}_{neu}=2\cdot \underbrace{d_n}_{alt} \,\,(n=1,2,3,...)$
Es ist
1. $a_1=3, a_2=6, a_3=9$
2. $b_1=2, b_2=2\cdot 2+1=5, b_3=2\cdot 5+1 =11$