Optimierung

Eine häufige Aufgabe besteht darin, das beste oder schlechteste Ergebnis unter einigen gegebenen Beschränkungen zu finden. Dies nennt man ein Optimierungsproblem. Wie können wir z.B. eine 1-Liter Wasserflasche mit der geringsten Menge an Material entwerfen? Das ist aus wirtschaftlicher Sicht interessant, wenn man bedenkt, dass Material Geld kostet, und wenn man eine grosse Anzahl dieser Flaschen produzieren will.

In diesem Beispiel wird die Bedingung, dass die Flasche $1$ Liter Wasser enthalten muss, als Randbedingung bezeichnet. Die Menge an Material, die für ein beliebiges Design mit dieser Einschränkung benötigt, wird die Kostenfunktion genannt. Ziel ist es, ein Design zu finden, welches die kleinsten (oder manchmal die grössten) Kosten verursacht.

Wir werden dieses Optimierungsproblem in einer der folgenden Übungen für eine Dose Cola lösen. Hier besprechen wir ein anderes Optimierungsproblem: wie lässt sich aus einem A4-Blatt eine Schachtel mit dem grösstmöglichen Volumen konstruieren?

Example 1

Angenommen, wir haben ein Stück Karton der Länge $29.7cm$ und der Breite $21.0cm$ (A4). Wir schneiden die Ecken wie in der Abbildung unten gezeigt ab und formen eine Schachtel. Finde die Höhe $x$ der Schachtel so, dass das Volumen der Schachtel so gross wie möglich ist.

Offensichtlich ist das Volumen der Schachtel unter der gegebenen Randbedingung (die Verwendung eines A4 Blatts und Faltung in der oben beschriebenen Weise)

f(x)=(29.7-2x)(21-2x)x

Dies ist die Kostenfunktion. Ihr Graph ist unten dargestellt.

Beachte, dass der Graph Sinn ergibt. Für $x=0$ hat der Karton keine Höhe, also ist das Volumen $0$ . Ist die Höhe $x=10.5cm$ (halbe Kartonbreite), so muss das Volumen der Schachtel ebenfalls $0$ sein. Alle Werte $x$ , die grösser als $10.5cm$ sind, können ignoriert werden, da sie im vorliegenden Zusammenhang keinen Sinn ergeben.

Irgendwo zwischen diesen beiden Werten für $x$ wird das Volumen maximal gross sein, und basierend auf dem Graphen wird dieser Wert irgendwo in der Nähe von $5$ liegen. Dies ist der Punkt, an dem der Graph sein lokales Maximum hat und die Kostenfunktion (das Volumen) maximal ist.

Um die genaue Lage des lokalen Maximums zu berechnen, können wir die Differentialrechnung verwenden. Wir beginnen damit, die stationären Punkte von $f$ zu finden. Wir wissen bereits aus der Abbildung, dass es zwei davon geben wird, und wir sehen auch, dass der kleinere dieser beiden Werte das lokale Maximum sein muss.

\begin{array}{lll} f(x) & = & (29.7-2x)(21-2x)x\\ & = & 623.7x-101.4 x^2 + 4x^3\\ \end{array}

Wir müssen $x$ mit $f'(x)=0$ finden, d.h. mit

f^\prime(x) = 623.7-202.8x+12x^2 =0

Mit Hilfe der Mitternachtsformel erhalten wir die Lösungen

x_1=12.857...

und

x_2=4.042...

Die optimale Höhe der Schachtel ist also $\underline{4.042cm}$ .

Im Prinzip sind wir nun fertig. Aber überprüfen wir noch, ob bei $x_2$ tatsächlich das lokale Maximum ist. Wir haben

f^{\prime\prime}(x)=-202.8+24x

und daher $f^{\prime\prime}(4.042)=-105.79...<0$ .

Also ja, bei $x_2$ ist das lokale Maximum.

Note 1

Remember: Die Kosten (Funktion) ist das, was minimiert oder maximiert werden soll.

Exercise 1

F1

Gegeben ist ein Zaun der Länge $500m$ . Wir wollen damit eine möglichst grosse rechteckige Fläche umschliessen. Eine Seite des Feldes ist durch das Bauernhaus versperrt, daher für diese Seite ist kein Zaun erforderlich (siehe Abbildung). Bestimme die Abmessung des Rechtecks.

F2

Betrachte erneut den Zaun von oben. Finde die kleinstmögliche Zaunlänge (drei Seiten), um eine Fläche von $80\,000m^2$ zu umschliessen.

F3

Wir wollen eine Kiste konstruieren, deren Grundlänge das $3$ -fache der Grundbreite beträgt. Das Material zum Bau der Ober- und Unterseite kostet $10$ Dollar pro $m^2$ und das Material zum Bau der Seiten kostet $6$ Dollar pro $m^2$ . Wenn die Kiste ein Volumen von $50 m^3$ haben muss, bestimme die Abmessungen, die die Kosten für den Bau der Kiste minimieren.

F4

Cola-Dosen-Problem. Ein Hersteller muss eine zylindrische Dose herstellen, die $0.33$ Liter Coca-Cola fasst. Bestimme den optimalen Radius der Dose, der den Materialeinsatz für die Konstruktion minimiert.

F5

Finde den Punkt $Z$ auf dem Graphen von $f(x)=\sqrt{x}$ , der dem Punkt $A(4|0)$ am nächsten liegt.

F6

In einer Obstplantage gibt es $50$ Apfelbäume. Jeder Baum produziert $n=800$ Äpfel. Für jeden zusätzlichen Baum, der in der Obstplantage gepflanzt wird, sinkt der Ertrag pro Baum um $10$ Äpfel. Finde die optimale Anzahl von Bäumen, die zu der bestehenden Obstplantage hinzugefügt werden sollten, um den Gesamtoutput der Bäume zu maximieren?

F7

Welcher Quader mit quadratischer Grundfläche und einem Volumen von $1000 m^3$ hat eine minimale Oberfläche?

F8

Mit einem Seil der Länge $100m$ soll eine rechteckige Fläche $A$ abgesteckt werden, und zwar so, dass einen Rechteckseite eine $20m$ lange Mauer einbettet (siehe Bild). Finde die grösstmögliche Fläche $A$ die gebildet werden kann.

F9

Der Punkt $P$ ist auf dem Graphen der Funktion $f(x)=-x+6$ . Finde $P$ so, dass die Rechteckfläche zwischen dem Koordinatennullpunkt und $P$ möglichst gross ist.

Solution

A7

$x=10$ (siehe englische Version für Details)

A8

$x=30, F=900m^2$ (siehe englische Version für Details)

A9

$P(3|3)$ (siehe englische Version für Details)