Winkel zwischen Vektoren

Betrachte zwei von 0⃗\vec 0 verschiedenen Vektoren a⃗\vec{a} and b⃗\vec{b} und denke deren Repräsentationen als Pfeile so arrangiert, dass beide dieselben Startpunkte besitzen.

Wir können nun den Winkel α\alpha zwischen den beiden Vektoren bestimmen, und zwar den kleineren. Dieser Winkel wird immer zwischen 0∘0^\circ und 180∘180^\circ sein. Erstaunlicherweise gibt es einen einfachen Zusammenhang zwischen diesem Winkel und dem Skalarprodukt der beiden Vektoren:

cos⁡(α)=a⃗∙b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣\boxed{\cos(\alpha)=\frac{\vec{a}\bullet \vec{b}}{\vert\vec{a}\vert\cdot \vert\vec{b}\vert} }

Das Skalarprodukt ist also der Kosinus des Winkels. Wir können also α\alpha mit Hilfe des Inversen Kosinus bestimmen: cos⁡−1\cos^{-1} oder arccos⁡\arccos.

Der Beweis dieser Formel folgt im nächsten Kapitel.

Example 1

Betrachte die Vektoren a⃗=(352)\vec{a} = \left(\begin{array}{r} 3\\ 5\\ 2 \end{array}\right) und b⃗=(−138)\vec{b}=\left(\begin{array}{r} -1\\ 3\\ 8 \end{array}\right). Es ist

cos⁡(α)=a⃗∙b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣=3⋅(−1)+5⋅3+2⋅832+52+22⋅(−1)2+32+82=2838⋅74=0.528\cos(\alpha)=\frac{\vec{a}\bullet \vec{b}}{\vert\vec{a}\vert\cdot \vert\vec{b}\vert} = \frac{3\cdot (-1)+5\cdot 3+2\cdot 8}{\sqrt{3^2+5^2+2^2}\cdot \sqrt{(-1)^2+3^2+8^2}} = \frac{28}{\sqrt{38}\cdot \sqrt{74}} = 0.528

Der kleinere Winkel zwischen a⃗\vec a und b⃗\vec b ist also α=cos⁡−1(0.528)=58.12∘\alpha = \cos^{-1}(0.528)=58.12^\circ

Exercise 1

Betrachte die Vektoren a⃗=(014)\vec{a}=\left(\begin{array}{r} 0\\ 1\\ 4 \end{array}\right) und b⃗=(031)\vec{b}=\left(\begin{array}{r} 0\\ 3\\ 1 \end{array}\right).

  1. Zeichen die Vektoren als Pfeile, und messe den Winkel zwischen den Vektoren.

  2. Berechne nun den Winkel, und vergleiche mit der Messung.

Solution