Vermischte Gleichungen

Es geht darum, die Gleichungstypen zu erkennen und mit der entsprechenden Strategie zu lösen; es kommen keine allgemeinen quadratischen Gleichungen vom Typ $ax^2+bx+c=0$ mit $a,b,c\in\mathbb{R}^\ast$ vor.

Übungen zu Gleichungstypen

Exercise 1: Verschiedene Gleichungstypen erkennen und lösen

Bestimme bei den folgenden Gleichungen zuerst den Gleichungstyp. Löse anschliessend die Gleichungen nach $x$ auf und gib die Lösungsmenge an. Achte bei Brüchen auf den Definitionsbereich.

a) $3(x - 4) + 5 = 2x - 1$

b) $2x^2 - 50 = 0$

c) $4x^2 - 12x = 0$

d) $(x + 2)^2 = x^2 + 8x - 12$

e) $\frac{4}{x-2} = \frac{5}{x+1}$

f) $x^2 - 6x + 8 = 0$

g) $\sqrt{x + 2} = 4$

h) $\sqrt{2x - 3} = x - 3$

Solution

a) Lineare Gleichung:

3x - 12 + 5 = 2x - 1

3x - 7 = 2x - 1

x = 6

\mathbb{L} = \{6\}

b) Reinquadratische Gleichung:

2x^2 = 50

x^2 = 25

x = 5 \lor x = -5

\mathbb{L} = \{-5, 5\}

c) Quadratische Gleichung ( $x$ ausklammern):

4x(x - 3) = 0

x = 0 \lor x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3

\mathbb{L} = \{0, 3\}

d) Quadratisch, aber quadratischer Term hebt sich auf:

x^2 + 4x + 4 = x^2 + 8x - 12 \quad | -x^2

4x + 4 = 8x - 12

16 = 4x

x = 4

\mathbb{L} = \{4\}

e) Bruchgleichung: Definitionsbereich: $x \neq 2$ und $x \neq -1$ , also $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-1, 2\}$

Mit dem Hauptnenner $(x-2)(x+1)$ multiplizieren (oder kreuzweise multiplizieren):

4(x+1) = 5(x-2)

4x + 4 = 5x - 10

14 = x

Da $14 \in \mathbb{D}$ , ist die Lösungsmenge $\mathbb{L} = \{14\}$ .

f) Quadratische Gleichung:

(x - 2)(x - 4) = 0

x = 2 \lor x = 4

\mathbb{L} = \{2, 4\}

g) Wurzelgleichung: Quadrieren der Gleichung:

x + 2 = 16

x = 14

Probe: $\sqrt{14 + 2} = \sqrt{16} = 4$ (stimmt)

\mathbb{L} = \{14\}

h) Wurzelgleichung: Quadrieren der Gleichung:

2x - 3 = (x - 3)^2

2x - 3 = x^2 - 6x + 9

0 = x^2 - 8x + 12

(x - 2)(x - 6) = 0 \Rightarrow x_1 = 2, x_2 = 6

Probe für $x=2$ : $\sqrt{2(2) - 3} = \sqrt{1} = 1$ ; rechte Seite: $2 - 3 = -1$ (stimmt nicht). Probe für $x=6$ : $\sqrt{2(6) - 3} = \sqrt{9} = 3$ ; rechte Seite: $6 - 3 = 3$ (stimmt).

\mathbb{L} = \{6\}

Exercise 2: Weitere Übungen zu Gleichungstypen

Bestimme bei den folgenden Gleichungen zuerst den Gleichungstyp. Löse anschliessend die Gleichungen nach $x$ auf und gib die Lösungsmenge an. Achte bei Brüchen auf den Definitionsbereich.

a) $2(x + 3) - 4 = 5x + 8$

b) $3x^2 - 27 = 0$

c) $\sqrt{3x + 1} = x - 1$

d) $(x - 3)^2 = x^2 - 10x + 1$

e) $\frac{3}{x+2} = \frac{2}{x-1}$

f) $x^2 - 5x + 6 = 0$

g) $\sqrt{x - 1} = 3$

h) $5x^2 + 15x = 0$

Solution

a) Lineare Gleichung:

2x + 6 - 4 = 5x + 8

2x + 2 = 5x + 8

-6 = 3x \Rightarrow x = -2

\mathbb{L} = \{-2\}

b) Reinquadratische Gleichung:

3x^2 = 27

x^2 = 9

x = 3 \lor x = -3

\mathbb{L} = \{-3, 3\}

c) Wurzelgleichung: Quadrieren der Gleichung:

3x + 1 = (x - 1)^2

3x + 1 = x^2 - 2x + 1

0 = x^2 - 5x

x(x - 5) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = 5

Probe für $x=0$ : $\sqrt{3(0) + 1} = \sqrt{1} = 1$ ; rechte Seite: $0 - 1 = -1$ (stimmt nicht). Probe für $x=5$ : $\sqrt{3(5) + 1} = \sqrt{16} = 4$ ; rechte Seite: $5 - 1 = 4$ (stimmt).

\mathbb{L} = \{5\}

d) Quadratisch, aber quadratischer Term hebt sich auf:

x^2 - 6x + 9 = x^2 - 10x + 1 \quad | -x^2

-6x + 9 = -10x + 1

4x = -8

x = -2

\mathbb{L} = \{-2\}

e) Bruchgleichung: Definitionsbereich: $x \neq -2$ und $x \neq 1$ , also $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-2, 1\}$

Kreuzweise multiplizieren:

3(x-1) = 2(x+2)

3x - 3 = 2x + 4

x = 7

Da $7 \in \mathbb{D}$ , ist die Lösungsmenge $\mathbb{L} = \{7\}$ .

f) Quadratische Gleichung:

(x - 2)(x - 3) = 0

x = 2 \lor x = 3

\mathbb{L} = \{2, 3\}

g) Wurzelgleichung: Quadrieren der Gleichung:

x - 1 = 9

x = 10

Probe: $\sqrt{10 - 1} = \sqrt{9} = 3$ (stimmt)

\mathbb{L} = \{10\}

h) Quadratische Gleichung ( $x$ ausklammern):

5x(x + 3) = 0

x = 0 \lor x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3

\mathbb{L} = \{-3, 0\}